Minore (algebra lineare)

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In algebra lineare, un minore di una matrice $A$ è una matrice quadrata ottenibile da $A$ eliminando alcune righe e/o colonne di $A$ .

I minori sono uno strumento utile per calcolare il rango di una matrice, e quindi per risolvere i sistemi lineari.

Indice

1 Definizioni
- 1.1 Sottomatrici e minori
- 1.2 Esempio
2 Proprietà
3 Voci correlate

[modifica] Definizioni

[modifica] Sottomatrici e minori

Una sottomatrice di una matrice $A_{n \times m}$ è una matrice $B_{r \times s}$ ottenuta da $A$ rimuovendo $n - r$ righe e $m - s$ colonne. Un minore è una sottomatrice quadrata, cioè con $r = s$ . Il numero $r$ è quindi l'ordine del minore.

Alcuni autori chiamano "sottomatrice quadrata" un minore e "minore" il suo determinante (così rimane compatibile con l'uso del termine in altre lingue, quali l'Inglese).

[modifica] Esempio

Consideriamo la matrice $A_{3 \times 4}$ :

$A_{3 \times 4} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 & 9 \\ -12 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 9 & 8 \end{bmatrix}$

Allora alcune delle sue sottomatrici sono:

$B_{1 \times 1} = \begin{bmatrix} -12 \end{bmatrix}$

$C_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

$D_{3 \times 2} = \begin{bmatrix} -1 & 9 \\ 3 & 0 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$

$E_{3 \times 1} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}$

$F_{1 \times 4} = \begin{bmatrix} -12 & 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

I minori di ordine $r = 3$ sono:

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -12 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 9 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 9 \\ -12 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 8 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 2 & 5 & 9 \\ -12 & 2 & 0 \\ 1 & 9 & 8 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -1 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 9 & 8 \end{bmatrix}$

Alcuni dei minori di ordine $r = 2$ sono:

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -12 & 3 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -12 & 2 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -12 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$ ...

Infine vi sono i minori di ordine $r = 1$ , ne mostriamo qualcuno:

$\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -12 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 8 \end{bmatrix}$ ...