Funzione di Möbius

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La funzione di Möbius è una funzione μ(n) utilizzata in teoria dei numeri che classifica i numeri interi positivi in una di tre categorie possibili secondo la scomposizione in fattori e che entra in una importante formula di inversione.

Indice

1 Definizione classica
2 Generalizzazione di Gian-Carlo Rota
3 Voci correlate
4 Bibliografia
5 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione classica

La funzione viene definita assegnando a μ(n) i seguenti valori:

-1 se n è scomponibile in un numero dispari di fattori primi distinti. Per esempio μ(435) = -1 perché 435 = 3 × 5 × 29, ha tre fattori primi. Per gli scopi di questa funzione, un numero primo è considerato avere un fattore primo, in sé, quindi μ(p) = -1.
0 se ha uno o più fattori primi ripetuti. Per esempio μ(436) = 0 perché 436 = 2² × 109 = 2 × 2 × 109, poiché gli esponenti significano che un fattore accade due volte o più nella scomposizione in fattori.
+1 se è scomponibile in un numero pari dei fattori primi distinti. Per esempio μ(437) = 1 perché 437 = 19 × 23. Si assume anche che μ(1) = 1, considerando che abbia una scomposizione in 0 fattori primi.

Chiaramente essa è una funzione aritmetica moltiplicativa, cioè tale che

se h e k sono interi positivi coprimi, allora $\mu(h\cdot k) = \mu(h)\cdot\mu(k)$ .

La funzione è stata introdotta da August Ferdinand Möbius nel 1832; la notazione $μ(n)$ è stata introdotta da Franz Mertens nel 1974.

Come successione di interi la funzione di Möbius è reperibile nell'archivio OEIS in corrispondenza della sigla A008683.

La funzione di Möbius è una funzione incorporata nel sistema computazionale Mathematica; essa viene invocata con una richiesta della forma MoebiusMu[n].

I valori che la funzione assume in corrispondenza dei primi 100 interi positivi sono:

$μ(n)$	+1	+2	+3	+5	+6	+7	+9	+10	+11	+13	+14	+15	+17	+18	+19
0+	1	-1	-1	-1	1	-1	0	1	-1	-1	1	1	-1	0	-1
20+	1	1	-1	0	1	0	-1	-1	-1	1	1	1	-1	1	1
40+	-1	-1	-1	0	1	-1	0	0	1	-1	0	1	1	1	-1
60+	-1	1	0	1	-1	-1	1	-1	-1	-1	1	0	1	-1	-1
80+	0	1	-1	1	1	1	-1	0	1	1	1	1	-1	0	0

[modifica] Generalizzazione di Gian-Carlo Rota

La funzione di Möbius può considerarsi una rappresentazione concisa di una funzione di due variabili intere positive h e k che chiamiamo funzione di Möbius per la divisibilità definita da

$\mu(h,k):=\left\{\begin{matrix}\mu(k/h) \ \mbox{se}\ h \ \mbox{divide}\ k \\ 0 \ \mbox{se altrimenti} \end{matrix}\right.$

Le variabili h e k vanno pensate corrispondere ai nodi del reticolo della divisibilità e la funzione μ(h,k) come una matrice con gli indici che corrono su un particolare insieme parzialmente ordinato i cui intervalli sono finiti: nel reticolo della divisibilità gli intervalli hanno la forma [h,k] con k multiplo di h sono gli insiemi degli interi multipli di h e sottomultipli di k. A questo punto è opportuno considerare la μ(h,k) come una generalizzazione delle usuali matrici quadrate con gli indici che variano sul semplice insieme ordinato degli interi che variano da 1 a un certo n intero positivo (poset catena).

Tra le matrici con gli indici sul poset si distinguono due matrici che sono l'una l'inversa dell'altra (caso n=4)

$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix} \qquad\qquad \begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{bmatrix}$

La seconda è la funzione di Möbius del poset catena e vale la seguente elementare formula d'inversione

$\begin{bmatrix}s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ s_4\end{bmatrix} := \begin{bmatrix}1&1&1&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ s_4\end{bmatrix}$

Questa formula non ci dice altro che conoscendo le somme parziali di una sequenza di addendi si possono ottenere per differenza gli addendi stessi. Può essere chiarificante associare la precedente formula di inversione a quella che possiamo chiamare formula fondamentale del calcolo infinitesimale:

$S(x) := \int_0^x dy A(y) \quad \Rightarrow \quad A(x) dx = dS(x)$

La classica formula di inversione di Möbius può considerarsi analoga della precedente formula matriciale e un caso particolare della formula di inversione di Möbius-Rota.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.2).
Gian-Carlo Rota (1964): On the Foundations of Combinatorial Theory I: Theory of Möbius Functions; Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete; vol. 2 pp. 340-368.