Formula di De Moivre

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La formula di De Moivre è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria:

( cos x + i sin x )ⁿ = cos nx + i sin nx

per ogni numero reale x e numero intero n, dove i sta per il numero immaginario unitario.

L'espressione "cos x + i sin x" viene a volte abbreviata con "cis x".

Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando la parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per cos(nx) e sin(nx) in termini di sin(x) e cos(x).

Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici n-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi z tali che zⁿ = 1.

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. Può essere derivata dalla formula di Eulero (anche se la precede storicamente)

e^ix = cos x + i sin x

e dalla legge esponenziale

(e^ix)ⁿ = e^inx

[modifica] Dimostrazione

Distinguiamo i tre casi relativi a n>0, n=0 ed n<0.

Per n > 0 si procede per induzione. Per n=1 la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con sé stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo k, cioè assumiamo

$(\cos x + i \sin x)^k = \cos(kx) + i \sin(kx). \,$

Consideriamo poi il caso n = k + 1:

$(\cos x+i\sin x)^{k+1}\,$

$= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}\,$

$= (\cos(kx)+i\sin(kx))(\cos x+i\sin x)\,$ (per l'ipotesi induttiva)

$= \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i(\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x)\,$

$= \cos(k+1)x + i\sin(k+1)x\,$

L'ultima identità dice che la formula, se vale per n = k allora è valida per n = k + 1 e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli n interi positivi.

Per n = 0 la formula si riduce alla semplice identità $cos(0 x) + i sin(0 x) = 1 + i 0 = 1$ , e (per la nota convenzione) $z 0 = 1$ .

Per n < 0, si considera l'intero positivo integer m := −n. Di conseguenza

$(\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,$