Fenomeno di Gibbs

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Il Fenomeno di Gibbs si presenta quando viene ricostruito un segnale dalla serie di Fourier troncata. Prende il nome dal fisico statunitense Willard Gibbs.

Data una funzione periodica f, che presenta dei punti di discontinuità, la sua trasformazione con la serie di Fourier è formata da infiniti termini. Quando si ricostruisce il segnale, se questa serie viene troncata, si ottengono delle soprelevazione del valore della funzione ricostruita nell'intorno del punto di discontinuità: all'aumentare del numero delle componenti della serie il valore di picco di detta soprelevazione rimane costante, mentre le oscillazioni alle quali tali soprelevazioni si riferiscono si avvicinano al punto di discontinuità.

[modifica] Descrizione

Onda quadra approssimata al termine 5 della serie di Fourier

Onda quadra approssimata al termine 25 della serie di Fourier

Onda quadra approssimata al termine 125 della serie di Fourier

Le tre figure qui sopra descrivono il fenomeno per un'onda quadra, la quale espansa secondo Fourier è:

$\sin(x)+\frac{1}{3}\sin(3x)+\frac{1}{5}\sin(5x)+\dotsb$

Più precisamente questa è una funzione f che assume il valore $π / 4$ tra $2 n π$ e $(2 n + 1)π$ ed il valore di $- π / 4$ tra $2(n + 1)π$ e $2(n + 2)π$ , per ogni n intero. Si ha quindi una discontinuità alta $π / 2$ ogni multiplo di $π$ .

Come si può vedere, se si considerano più termini, l'errore di approssimazione si riduce in ampiezza ed energia, ma converge ad un altezza fissa, che si può calcolare attraverso una precisa formula. Il valore della soprelevazione, rispetto all'altezza nominale dell'onda ( $π / 4$ ), risulta quindi di:

$\frac{1}{2}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\, dt - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} 0.089490\dots$

Più in generale, data una funzione periodica differenziabile che presenta un punto di discontinuità di altezza a, la serie di Fourier troncata presenta una soprelevazione di circa $0.089490 a$ ad ogni estremità. Ovvero la funzione che deriva dalla serie di Fourier troncata presenta una discontinuità del 18% più grande della funzione originale.

La quantità

$\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ dt = {1.851937052\dots} = \frac{\pi}{2} + \pi 0.089490\dots$

è conosciuta come la costante di Wilbraham-Gibbs.

[modifica] Formalismo matematico

Data una funzione $f: {\Bbb R} \to {\Bbb R}$ continua a tratti, differenziabile e periodica, con periodo L>0. Dato un punto x₀ con limite per x che tende ad x₀ da sinistra e da destra diversi e con differenza tra i due pari ad a

$f(x_0^+) - f(x_0^-) = a \neq 0.$

Per ogni numero intero positivo $N \geq 1$ , sia $S N f$ la serie di Fourier troncata al N-esimo termine

$S_N f(x) := \sum_{-N \leq n \leq N} \hat f(n) e^{2\pi i n x/L} = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)$

dove i coefficienti di Fourier $\hat f(n), a_n, b_n$ sono calcolati tramite le solite formule

$\hat f(n) := \frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-2\pi i n x/L}\ dx$

$a_n := \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)\ dx$

$b_n := \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{2\pi nx}{L}\right)\ dx.$

Si ha

$\lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 + \frac{L}{2N}\right) = f(x_0^+) + 0.089490\dots a$

$\lim_{N \to \infty} S_N f\left(x_0 - \frac{L}{2N}\right) = f(x_0^-) - 0.089490\dots a$

$\lim_{N \to \infty} S_N f(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}.$

In generale, se x_N è una sequenza di numeri reali che converge ad x₀ per $N \to \infty$ , e se il salto a è positivo allora

$\limsup_{N \to \infty} S_N f(x_N) \leq f(x_0^+) + 0.089490\dots a$

$\liminf_{N \to \infty} S_N f(x_N) \geq f(x_0^-) - 0.089490\dots a.$

Se invece il salto a è negativo dobbiamo cambiare il limite superiore con il limite inferiore e cambiare i segni di disuguaglianza ≤ con ≥ e viceversa, ovvero

$\liminf_{N \to \infty} S_N f(x_N) \geq f(x_0^+) + 0.089490\dots a$

$\limsup_{N \to \infty} S_N f(x_N) \leq f(x_0^-) - 0.089490\dots a.$

[modifica] Esempio

Ora analizziamo il fenomeno di Gibbs nell'onda quadra descritto all'inizio. Nel nostro esempio il periodo L è pari a 2π, la discontinuità x₀ è nello 0 ed il salto a è uguale a π/2. Per semplicità consideriamo solo i casi con N pari (se N è dispari la trattazione è molto simile). Abbiamo

$S_N f(x) = \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x) + \cdots + \frac{1}{N-1} \sin((N-1)x).$

sostituendo x₀ otteniamo

$S_N f(0) = 0 = \frac{-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2}$

come abbiamo visto sopra. Ora calcoliamo

$S_N f(\frac{2\pi}{2N}) = \sin\left(\frac{\pi}{N}\right) + \frac{1}{3} \sin\left(\frac{3\pi}{N}\right) + \cdots + \frac{1}{N-1} \sin\left( \frac{(N-1)\pi}{N} \right).$

Se definiamo la funzione sinc $\operatorname{sinc}(x) := \sin(x)/x$ possiamo riscrivere la precedente equazione come

$S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right) = \frac{1}{2} \left[ \frac{2\pi}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{\pi}{N}\right) + \frac{2\pi}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{3\pi}{N}\right) + \cdots + \frac{2\pi}{N} \operatorname{sinc}\left( \frac{(N-1)\pi}{N} \right) \right].$

ma l'espressione all'interno delle parentesi quadre è un approssimazione dell'integrale $\int_0^\pi \operatorname{sinc}(t)\ dt$ . Dato che la funzione sinc è continua, l'approssimazione converge all'integrale con $N \to \infty$ . Quindi abbiamo

$\lim_{N \to \infty} S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right) = \frac{1}{2} \int_0^\pi \operatorname{sinc}(t)\ dt = \frac{\pi}{4} + 0.089490\dots \frac{\pi}{2}$

che è esattamente ciò che avevamo trovato nel paragrafo precedente. In modo analogo si trova

$\lim_{N \to \infty} S_N f\left(-\frac{2\pi}{2N}\right) = -\frac{1}{2} \int_0^\pi \operatorname{sinc}(t)\ dt = -\frac{\pi}{4} - 0.089490\dots \frac{\pi}{2}$