Sierpiński-felbontás

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Sierpiński-felbontás egy meglehetősen paradox, a kontinuumhipotézist használó halmazelméleti konstrukció.

Tartalomjegyzék

1 Az állítás
2 A tétel
3 Jelentősége
4 Változatok
- 4.1 A Freiling-féle dárdaparadoxon
- 4.2 A háromdimenziós eset

[szerkesztés] Az állítás

Sierpiński-felbontásnak nevezzük a sík felbontását két halmaz, A és B uniójára úgy, hogy a következő teljesül:

A metszete minden vízszintes egyenessel megszámlálható,
B metszete minden függőleges egyenessel megszámlálható.

[szerkesztés] A tétel

Ha igaz a kontinuumhipotézis, akkor a síknak létezik Sierpiński-felbontása. Sőt a kontinuumhipotézis ekvivalens ilyen felbontás létezésével.

[szerkesztés] Jelentősége

Szorítkozzunk csak a $[0,1]\times[0,1]$ egységnégyzetre. Ha ekkor $F (x, y)$ az $A$ halmaz karakterisztikus függvénye, tehát $F (x, y) = 1$ , ha $\langle x,y\rangle\in A$ és $F (x, y) = 0$ , ha $\langle x,y\rangle \in B$ , akkor

$1=\int^1_0\int^1_0 F(x,y)dx dy\neq \int^1_0\int^1_0 F(x,y) dy dx=0$

felhasználva, hogy a Lebesgue-integrál nem változik, ha a függvény értékét megszámlálható sok pontban megváltoztatjuk, így, egy olyan $[0,1]$ -beli függvény integrálja, ami megszámlálható sok pontban 0, a többi helyen 1, 1, ha pedig a függvény megszámlálható sok pontban 1, a többi helyen 0, akkor integrálja is 0. Úgy is lehet fogalmazni, hogy $A$ nem mérhető.

[szerkesztés] Változatok

[szerkesztés] A Freiling-féle dárdaparadoxon

Ez a frappáns átfogalmazás Chris Freilingtől ered.

Tegyük fel a kontinuumhipotézist. Ekkor a sík pontjai felsorolhatók, mint ${r α :α < ω 1}$ . Ketten játszanak, először Első, azután Második beledobja dárdáját a céltáblába, ami a sík. Mondjuk Első eltalálja $r α$ -t, Második $r β$ -t. A $\{r_0,\dots,r_\alpha\}$ halmaz megszámlálható, tehát nullmértékű. Második ezt nem találhatja el, pontosabban csak nulla valószínűséggel találhatja el. Tehát 1 valószínűséggel $β > α$ . Ezután kinyílik az ajtó és belép valaki a kocsmába. Ránéz a céltáblára és megmondja hogy melyik volt Első dobása (a kisebb) és melyik Másodiké (a nagyobb indexű pont) és 1 valószínűséggel igaza van.

[szerkesztés] A háromdimenziós eset

Hasonlóképpen, szintén a kontinuumhipotézisssel igazolható, hogy a háromdimenziós euklideszi tér, R³ felbontható három halmaz, A, B és C egyesítésére, hogy