Kvantumállapot

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Kvantumállapot bármely állapot, amiben egy kvantummechanikai rendszer lehet. Egy teljesen meghatározott kvantumállapot állapotvektorral, hullámfüggvénnyel vagy kvantumszámok teljes készletével adható meg. Egy részlegesen ismert kvantumállapot, mint a statisztikus sokaság, néhány rögzített kvantumszámmal, egy sűrűségfüggvény segítségével ábrázolható.

[szerkesztés] Braket jelölés

Paul Dirac egy hatékony és intuitív matematikai jelölést hozott létre a kvantumállapotok számára, a braket-jelölést. Pl. lehet hivatkozni egy |gerjesztett atom>-ra vagy $|\!\!\uparrow\rangle$ -ra egy felfelé mutató spinű részecske esetén, elfedve a mélyben levő matematikai részleteket, ami feltárul, ha az állapotot egy koordinátabázisra vetítjük. Pl. az egyszerű |1s> jelölés a hidrogénatom első kötött állapotát jelöli, de a Laguerre-polinomok és gömbfüggvények bonyolult függvényévé válik, ha az |r> helyzetvektorok bázisára vetítjük. Az eredményül kapott Ψ(r)=<r|1s> kifejezés, ami hullámfüggvényként ismerünk, a kvantumállapot speciális reprezentációja, nevezetesen a helykoordinátatérre való vetülete. Más reprezentációk, mint az impulzustérre való vetület, is lehetségesek. A különféle reprezentációk egyszerűen csak különböző kifejezései ugyanannak a fizikai kvantumállapotnak.

[szerkesztés] Bázisállapotok

Bármely $|\psi\rangle$ kvantumállapot kifejezhető bázisállapotok (bázisketeknek is mondják) lineáris kombinációjaként:

$| \psi \rangle = \sum_i c_i | k_i \rangle$

ahol a $c i$ koefficiensek a valószínűségi amplitúdók amiknek az abszolutérték-négyzete, $\left | c_i \right | ^2$ annak a valószínűsége, hogy a mérés a $|k_i\rangle$ állapotot adja. A normálási feltétel miatt a valószínűségek teljes összege egy:

$\sum_i \left | c_i \right | ^2 = 1.$

A bázisáálapotokat pl. a harmonikus kvantumoszcillátoron keresztül érthetjük meg. Ebben a rendszerben minden $|n\rangle$ bázisállapotnak $E_n = \hbar \omega \left(n + {\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}}\right)$ energiája van. A bázisállapotok rendszerét egy $a^{\dagger}$ keltő és egy $a\,$ eltüntető operátorral építhetjük fel.

[szerkesztés] Állapotok szuperpozíciója

Ha egy $|\psi\rangle$ kvantumállapot több úton is elérhető, akkor azt mondjuk, hogy állapotok lineáris szuperpozíciója. Két út esetén, ha az állapotok az $\alpha\,$ úton és a $\beta\,$ úton

$|\alpha\rangle = \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix} |0\rangle + \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix} |1\rangle,$ and

$|\beta\rangle = \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix} |0\rangle - \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix} |1\rangle,$

halad végig, akkor $|\psi\rangle$ ezen két állapot normált lineáris kombinációjaként definiálható. Ha a két út egyformán valószínű, akkor

$|\psi\rangle = \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}|\alpha\rangle + \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}|\beta\rangle = \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}(\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}|0\rangle + \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}|1\rangle) + \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}(\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}|0\rangle - \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}|1\rangle) = |0\rangle.$

Megjegyezzük, hogy az $|\alpha\rangle$ és $|\beta\rangle,$ ill. az $|0\rangle$ és $|1\rangle$ állapotok mindegyikének $\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix},$ a valószínűsége, ahogy azt a valószínűségi amplitúdók abszolutérték-négyzete ( $\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}$ és $\begin{matrix}\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}.$ ) megadja. Egy szuperpozícióban a valószínűségi amplitúdók adódnak össze, és nem a valószínűségek. Egy mintát, ami szuperpozíció eredményeként jön létre, gyakran interferencia-mintának nevezzük. A fenti esetben $|0\rangle$ konstruktív interferenciát, $|1\rangle$ destruktív interferenciát takar.

A szuperpozícióval kapcsolatban lásd még a kétréses kísérletet.

[szerkesztés] Tiszta és kevert állapotok

Egy tiszta kvantumállapot bázisállapotok lineáris kombinációja, egy kevert kvantumállapot tiszta állapotok statisztikai eloszlása.

Egy $A$ mérés várható értéke egy tiszta kvantumállapoton:

ahol $|\alpha_i\rangle$ az $A$ operátor bázis-ketvektorai, és $P (α i)$ annak a valószínűsége, hogy a mérés $| \psi \rangle$ -t az $|\alpha_i\rangle$ állapotban találja.

A kevert állapotok leírására a $ρ,$ sűrűségoperátort (vagy sűrűségmátrixot) használjuk. Ez a kvantumechanikát kiterjeszti kvantumstatisztikává (vagy kvantumstatisztikus mechanikává). A sűrűségoperátor definíciója:

$\rho = \sum_s p_s | \psi_s \rangle \langle \psi_s |$

ahol $p_s\,$ az egyes kvantumsokaságok aránya a $|\psi_s\rangle$ tiszta állapotban. Egy kevert állapoton az $A$ mérés sokasági átlaga

$\left [ A \right ] = \langle \overline{A} \rangle = \sum_s p_s \langle \psi_s | A | \psi_s \rangle = \sum_s \sum_i p_s a_i | \langle \alpha_i | \psi_s \rangle |^2 = tr(\rho A)$

ahol fontos megjegyezni, hogy kétfajta átlagolás történt, az egyik a a tiszta állapot bázisketjein történő kvantumátlagolás, a másik a tiszta állapotok sokaságán történő statisztikai átlagolás.