Darboux-tétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Darboux-tétel a matematikai analízisben azt mondja ki, hogy egy differenciálható függvény deriváltfüggvénye, amenyiben intervallumon értelmezett, akkor két érték között minden értéket felvesz. A deriváltfüggvény tehát ha nem is feltétlenül folytonos, de ugrása semmiképpen nem lehet.

Tartalomjegyzék

1 A tétel
2 Bizonyítás
- 2.1 Weierstrass tételével
- 2.2 A Lagrange-féle középértéktétellel
3 Külső hivatkozások

[szerkesztés] A tétel

Minden differenciálható valós-valós függvény deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú.

[szerkesztés] Bizonyítás

Elegendő belátni, hogy ha egy f : [a,b] $\rightarrow$ R korlátos és zárt intervallumon értelmezett, differenciálható (a végpontokban balról, jobbról differenciálható) függvény olyan, hogy f '(a) < f '(b), akkor minden m ∈ (f '(a),f '(b)) nyílt intervallumbeli értékhez található olyan c ∈ (a,b) nyílt intervallumbeli pont, hogy m = f '(c).

[szerkesztés] Weierstrass tételével

Definiáljuk minden x ∈ [a,b]-re a

$g(x):=f(x)-m\cdot x$

függvényt. Minthogy f is, így g is folytonos és differenciálható. g deriváltja:

$g'(x):=f'(x)-m\,$

azaz ha g '(x) = 0, akkor f '(x) = m, így feladatunk, hogy keressünk a belső pontok között zérushelyet g '-nek. Weierstrass tétele értelmében létezik g-nek minimuma. Ha ez a-ban van, akkor g '(a) = f '(a) - m < 0 miatt ott a függvény lokálisan csökkenne és lenne f(a)-nál kisebb értéke, ami lehetetlen. Ugyanígy g '(b) > 0 miatt lenne b előtt a függvénynek g (b)-nél kisebb értéke. A minimum helye tehát csak (a,b)-ben lehet és akkor a szélsőértékekre vonatkozó Fermat-tétel szerint ott g deriváltja 0, f deriváltja pedig, így m. ■

[szerkesztés] A Lagrange-féle középértéktétellel

Definiálni fogunk egy folytonos függvényt, melynek minden helyettesítési értéke olyan alakú, mint a Lagrange-féle középértéktételben szereplő hányados. Ennek a hányadosnak az értéke fog végigfutni az (f '(a), f '(b)) nyílt intervallum minden pontján, és így ad majd az f ' deriváltfüggvény, alkalmas c pontban m függvényértéket.

Legyen k az a és b számtani közepe. Legyen

$g:(a,b)\rightarrow \mathbb{R};\;x\mapsto\begin{cases} \cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{f(x+x-a)-f(a)}{x-a}, & \mbox{ha }x \in (a,k], \\ \cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{f(x+x-b)-f(b)}{x-b}, & \mbox{ha }x\in (k,b)\end{cases}$

Ellenőrizhetjük, hogy a g függvény k-ban is folytonos. A kissé bonyolult definíció azért van, hogy a hányadosfüggvény a végpontokban határértékként az egyoldali deriváltakat adja. L'Hospital-szabállyal igazolhatjuk ugyanis, hogy:

$\lim_a g=f'(a)\,$ és

$\lim_b g=f'(b)\,$

Ekkor a Bolzano–Darboux-tétel következményeként létezik olyan ξ ∈ (a,b), hogy g(ξ) = m. Attól függően, hogy ξ az (a,b) melyik felébe esik, felírható vagy

$m=\cfrac{f(2\xi-a)-f(a)}{(2\xi-a)-a}$ , vagy

$m=\cfrac{f(2\xi-b)-f(b)}{(2\xi-b)-b}$

tehát a Lagrange-féle középértéktétel következményeként vagy az ( a , 2ξ-a ) vagy a ( 2ξ-b , b ) nyílt intervallum valamely c pontjában fennáll az f '(c) = m egyenlőség. ■