Cent (zene)

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A cent (rövidítve C) az exponenciális tulajdonságú frekvenciaviszonyok illetve zenei intervallumok logaritmikus skálában való lineáris kezelését lehetővé tévő mértékegység, melyet elsősorban a különféle temperálások és a bennük megalkotható hangközök összevetésére használnak. Az oktáv 1200 centből áll, a kiegyenlített hangolásban pedig 100 cent ad ki egy temperált félhangot (innen származik a mértékegység neve).

Tartalomjegyzék

1 Előnye
2 Képletek
- 2.1 Átváltás
  - 2.1.1 Q-ról C-re
  - 2.1.2 C-ről Q-ra
- 2.2 Levezetés
3 Használati példák
- 3.1 1. példa
- 3.2 2. példa
4 Története

[szerkesztés] Előnye

A hang fizikai tulajdonságai közül a frekvencia a fül számára a legfontosabb, mivel ezt érzékeli hangmagasságként. Kétszeres frekvencia vagy rezgésszám egy oktávval magasabb hangot jelent, például a 440 Hz-es kamara A fölött egy oktávval levő A hang frekvenciája 2 * 440 = 880 Hz. A hangmagasság tehát exponenciális skálájú, vagyis a hányados adja meg azt, milyen viszonyban van egymással két hang.

Mivel azonban az összeadás és kivonás lényegesen egyszerűbb művelet a szorzásnál és osztásnál, s a tényleges frekvenciák csak kivételesen lehetnek érdekesek, hiszen legtöbbször a viszonyok meghatározására van csupán szükségünk, így célszerű az eredetileg exponenciális skálát logaritmikusan linearizálni, majd ezen elvégezni a kívánt műveleteket, azaz összeadások és kivonások segítségével egymáshoz hasonlítani az egyes hangokat: ezen linearizálást teszi lehetővé a cent mértékegység alkalmazása. Használatával az oktáv 2:1 arányát 1200 fokú lineáris skálává alakítjuk, amiben immár a számtani különbségek adják meg a hangközviszonyokat.

[szerkesztés] Képletek

[szerkesztés] Átváltás

[szerkesztés] Q-ról C-re

A gyakorlatban általában arra van szükség, hogy frekvenciaviszonyokat (Q_fr) váltsunk át centre (C), amihez az alábbi képletek valamelyike használható:

$C=1200\cdot\log_2Q_{fr}=1200\cdot\frac{\log_{10}Q_{fr}}{\log_{10}2}\approx3986{,}314\cdot\log_{10}Q_{fr}$

Például a tiszta nagyterc (viszonyszám 5/4) centértéke:

$C=1200\cdot\log_2\left(\frac{5}{4}\right)=1200\cdot\frac{\log_{10}1{,}25}{\log_{10}2}\approx386{,}314$

[szerkesztés] C-ről Q-ra

A fordított átalakításhoz, vagyis a centérték frekvenciaviszonyra való átszámításához a következő képlet alkalmazható:

$Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^\frac{C}{1200}$

Például az előbb kapott centérték visszahelyettesítve:

$Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^{386{,}314}=\sqrt[1200]{2^{386{,}314}}=2^\frac{386{,}314}{1200}\approx1{,}25=\frac{5}{4}$

[szerkesztés] Levezetés

A feladat az oktáv adott számú egyenlő részre osztása úgy, hogy a fül minden egyes lépést azonos magasságkülönbségnek érezzen. Mivel a frekvencia exponenciálisan nő, miközben a magasságkülönbség-érzet azonos marad, így a feladatunk megoldásához minden lépésnek ugyanazon arányban kell állnia az előzővel, vagyis a részeknek mértani sort kell alkotniuk.

Először - az egyszerűség kedvéért - 5 oktávnyi skálát (viszonyszám 1:32) osszunk fel 5 egyenlő részre, vagyis alkossuk meg azon hattagú skálát, amelynek az eleje 1, vége 32, s minden eleme egyenlő arányban van az előzőhöz képest, azaz amelyik skála mértani sor.

A mértani sor n. tagjának (a_n) értéke:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ , ahol a₁ az első elem, q pedig a hányados.

Most a q értékét akarjuk meghatározni, ezért a képletet átrendezzük:

$q=\sqrt[n-1]\frac{a_n}{a_1}$

Jelen esetben n=6, a₁=1, a₆=32, vagyis:

$q=\sqrt[5]{32}=2$

A kapott mértani sor tehát:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Ha 1 oktávot (1:2), akarunk felosztani n részre, akkor a képletünk:

$q=\sqrt[n]{2}$

A cent definíció szerint az oktáv 1200-ad része, vagyis:

$1\ \mathrm{cent}=\sqrt[1200]{2}=2^\frac{1}{1200}$

illetve:

$n\ \mathrm{cent}=\left(\sqrt[1200]{2}\right)^n=\sqrt[1200]{2^n}=2^\frac{n}{1200}$

frekvenciaviszonyban kifejezve, azaz:

$Q_{fr}=\left(\sqrt[1200]2\right)^C=\sqrt[1200]{2^C}=2^\frac{C}{1200}$

Ebből a hatványozás és a logaritmus összefüggését felhasználva:

$\log_2{Q_{fr}}=\frac{C}{1200}$

vagyis

$C=1200\cdot\log_2Q_{fr}$

[szerkesztés] Használati példák

[szerkesztés] 1. példa

Számítsuk ki a tiszta hangközök centértékeit a frekvenciaarányokból!

Hangköz neve	Arányszám	Számítás	Centérték
Oktáv	$\frac{2}{1}\,$	$1200\cdot\log_2\left(\frac{2}{1}\right)$	1200
Kvint	$\frac{3}{2}\,$	$1200\cdot\log_2\left(\frac{3}{2}\right)$	701,955
Kvart	$\frac{4}{3}\,$	$1200\cdot\log_2\left(\frac{4}{3}\right)$	498,045
Nagyterc	$\frac{5}{4}\,$	$1200\cdot\log_2\left(\frac{5}{4}\right)$	386,314
Kisterc	$\frac{6}{5}\,$	$1200\cdot\log_2\left(\frac{6}{5}\right)$	315,641

[szerkesztés] 2. példa

Számítsuk ki a püthagoraszi és a szintonikus komma értékét centekben és frekvenciaviszonyokban!

a) Püthagoraszi komma (12 tiszta kvint és 7 oktáv különbsége):

Centekben:

$C_{pK}=12\cdot701{,}955 - 7\cdot1200=8423{,}46-8400=23{,}46$

Átszámítva frekvenciaviszonyra:

$Q_{pK}=2^\frac{23{,}46}{1200}\approx1{,}0136432$

Frekvenciaviszonyokban számolva:

$Q_{pK}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}}{\left(\frac{2}{1}\right)^7}=\frac{1{,}5^{12}}{2^7}\approx\frac{129{,}746}{128}\approx 1{,}0136432$

Átszámítva centre:

$C_{pK}=1200\cdot\log_2{1{,}0136432}=1200\cdot\frac{\log_{10}{1{,}0136432}}{\log_{10}2}\approx23{,}46$

Láthatóan a centekben való számításkor hatványozás helyett szorzás, osztás helyett pedig kivonás szerepel, vagyis a számolás lényegesen egyszerűsödik.

b) Szintonikus komma (a püthagoraszi - 4 tiszta kvint által kiadott - és a tiszta nagyterc különbsége):

Centekben

$C_{sK}=(4\cdot701{,}955 - 2\cdot1200) - 386{,}314=407{,}82 - 386{,}314=21{,}506$

Átszámítva frekvenciaviszonyra:

$Q_{sK}=2^\frac{21{,}506}{1200}\approx1{,}0125$

Frekvenciaviszonyokban számolva:

$Q_{sK}=\frac{\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^4}{2^2}}{\frac{5}{4}}=\frac{\frac{81}{64}}{\frac{5}{4}}=\frac{81}{80}=1{,}0125$

Átszámítva centre:

$C_{sK}=1200\cdot\log_2{1{,}0125}=1200\cdot\frac{\log_{10}{1{,}0125}}{\log_{10}2}\approx21{,}506$

[szerkesztés] Története

A cent használatát az angol Alexander John Ellis (1814-1890) javasolta Hermann von Helmholtz Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik (A hangérzékelés tana, mint a zeneelmélet fiziológiai alapja) című műve általa készített angol fordításának (On the Sensations of Tone - 1875) függelékében.

Érdekességként megemlíthető, hogy a zenei szisztéma, a hangjegyek lejegyzésére szolgáló rendszer is lineáris leképezése (azaz logaritmikus ábrázolása) az exponenciális hangskálának, hiszen minden oktáv, függetlenül a hangmagasságtól, azonos távolságú, illetve minden más hangköz is megtartja az állandó lineáris különbséget. Bármennyire meglepő, itt már tudatos linearizálásról kell beszélnünk, még ha az első szisztémák a középkor elején is készültek: ugyanis a hangközviszonyok exponenciális természete Püthagorasz munkái nyomán már kezdettől fogva ismert volt, s a gitár- illetve lantbundok megalkotásához - amelyek szép példái a logaritmikus skálának - szükség volt ezen hosszviszonyok világos ismeretére, vagyis a tabulatúrák és lejegyzések tudatosan szakítottak a természetes ábrázolással az áttekinthetőség kedvéért.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../c/e/n/Cent_%28zene%29.html"

Kategóriák: Mértékegységek | Zeneelmélet

We provide Linux to the World