A halmazelmélet története

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A halmazelmélet története a matematikatörténet egy kiemelkedő fejezete. A halmazelmélet kialakulása nem csak egy matematikai elmélet kifejlődését jelenti, hanem egy olyan korszakot, amikor a matematikai szigorúság a mai fokát érte el.

A halmazelmélet megalkotásának indítéka a 19. század végi matematika azon törekvése volt, hogy a matematikai analízisben olyan nagy szerepet játszó valós szám és irracionális szám fogalmak a lehető legjobban meghatározott, matematikai eszközökkel jól körülbástyázott fogalmak legyenek. Ez a törekvés az 1800-as évek eleje óta egyre erősödő áramlatává vált a matematikai kutatásoknak, melyet Cauchy indított el és Bolzano illetve Weierstrass folytatott.

Két fiatal kutató, magán a fogalmak szigorúbb definícióján túlmutató jelentősségű eredményeket értek el a valós számok elméletében. Először Richard Dedekind bebizonyította, hogy a racionális és irracionális számok mindenhol sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden intervallumban van akár irracionális, akár racionális szám. Georg Cantor pedig azt bizonyította be, hogy a valós számok halmaza nem lehet megszámlálhatóan végtelen (a Cantor-tétel egy speciális esete, melyet az átlós eljárással igazolt). Ennek a cikknek az 1874-es publikálását tekintjük a halmazelmélet megszületésének. A Cantor-féle (ún. naiv vagy intuitív) halmazelmélet fogalmait, már ekkor használta a Cantorral szoros munkakapcsolatban lévő Dedekind és a tőlük függetlenül, matematikai logikai vizsgálatokat végező Gottlob Frege.

A halmazelmélet eme cantori és fregei paradigmája szerint tetszőleges T tulajdonság egy olyan halmazt határoz meg, mely azokat az elemeket tartalmazza, melyekre T teljesül. Ez a komprehenzivitási elv, mely azonban a naiv halmazelmélet javíthatatlan hibáinak forrásává vált. A naiv halmazelméletben ugyanis Bertrand Russell 1904-ben (és ezzel egyidőben sokan mások is, például maga Cantor) ellentmondást, úgynevezett antinómiát fedezett fel (lásd: Russell-paradoxon). Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika csaknem teljesen a halmazelméletre alapozható, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk, melyben a kompehenzivitási elvet felváltotta a halmazok iteratív definíciójának elve. Eszerint nem a tulajdonságok alapján értelmezett halmazok képezik a halmazelmélet objektumait, hanem az egyszerűbb halmazokból, halmazműveletek segítségével készített újabb halmazok sokasága alkotja a halmazok világát. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo–Fraenkel és a Neumann–Bernays–Gödel-axiómarendszer. (Ez utóbbiban bizonyos fokig visszatér a komprehenzivitás.) Mindezidáig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat, bár ellentmondásmentességüket sem sikerült eleddig igazolni.

A halmazelméleti ellentmondások feloldása - hasonlóan más tudományágakhoz - új fogalmak bevezetését követeli meg. Legelőször Zermelo végzett eredményes kutatásokat az ellentmondások kiküszöbölésére. Zermelo vizsgálatait Fraenkel bővítette - kialakítva az úgynevezett Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszert. Más halmazelméleti axiómarendszerek is ismertek (például a Neumann–Gödel–Bernays-féle axiómarendszer), melyek nagyban hozzájárultak a modern halmazelméleti kutatások eredményességéhez.