Rocheova granica

Izvor: Wikipedija

Minimalna udaljenost od centra planeta na kojoj satelit u tekućem stanju (ili satelit koji se sastoji od labave nakupine krhotina) može ostati u jednom komadu bez da bude rastrgan plimnim silama. Na ovoj se udaljenosti privlačne gravitacijske sile između malih tijela izjednačuju s plimnim silama planeta koje teže rastezanju tijela. Ako su planet i njegov satelit iste gustoće, Rocheova granica iznosi 2.456 polumjera planeta. Stapanje manjih tijela u planetne satelite je nemoguće unutar Rocheove granice. Već formirana tijela ipak mogu opstati zbog drugih vezivnih sila u materijalu, pored gravitacijskih.

Sadržaj

1 Izračunavanje Rocheove granice
2 Deriviranje formule za Rocheovu granicu
3 Primjer
4 Vanjske poveznice

[uredi] Izračunavanje Rocheove granice

Rigidni satelit:

$d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 1.260R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}$

gdje je $R$ je polumjer planeta, $ρ M$ je gustoća planeta, dok je $ρ m$ gustoća satelita.

Tekućinasti satelit:

$d \approx 2.423R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}$

[uredi] Deriviranje formule za Rocheovu granicu

$F_G = \frac{Gmu}{r^2}$

Plimna sila $F P$ na masu $u$ prema planetu ili primarnom tijelu s polumjerom $R$ i udaljenosti $d$ izmeđe centara dvaju tijela može se napisati sljedećom jednadžbom :

$F_P = \frac{2GMur}{d^3}$

Rocheova granica je dostignuta kada je gravitacijska sila jednaka plimnoj:

F G = F P

ili

$\frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3}$

Iz koje se brzo dobiva Rocheova granica, d kao:

$d = r \left( 2 M / m \right)^{\frac{1}{3}}$

Pošto polumjer satelita nije potraban u formuli, ovo se može izraziti koristeći specifične gustoće dvaju dijela:

Za okruglu masu $M$ može se napisati

$M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3}$ gdje

R

polumjer planeta ili osnovong tijela

Također:

$m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3}$ gdje

r

polumjer satelita

$d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3}$

podjednostavljeno:

$d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}$

[uredi] Primjer

Osnova	Gustoća (kg/m³)	Polumjer (m)
Sunce	1,400	695,000,000
Jupiter	1,330	71,500,000
Zemlja	5,515	6,376,500
Mjesec	3,340	1,737,400

Tijelo	Satelit	Rocheova granica (krutina)		Rocheova granica (tekućina)
Tijelo	Satelit	Udaljenost (m)	Polumjera	Udaljenost (m)	Polumjera
Zemlja	Mjesec	9,495,665	1.49	18,261,459	2.86
Zemlja	Komet	17,883,432	2.80	34,392,279	5.39
Sunce	Zemlja	554,441,389	0.80	1,066,266,402	1.53
Sunce	Jupiter	890,745,427	1.28	1,713,024,931	2.46
Sunce	Mjesec	655,322,872	0.94	1,260,275,253	1.81
Sunce	Komet	1,234,186,562	1.78	2,373,509,071	3.42