משיק למעגל (משפטים)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
 |
ערך זה מועמד להעברה לוויקיספר ערך זה נראה כספר לימוד או מדריך. ויקיפדיה איננה מאגר מדריכים או ספרי לימוד אבל ויקיספר כן. אם לדעתך ערך זה הוא בעל חשיבות אנציקלופדית, אנא ציין זאת בדף השיחה של הערך. |
להלן משפטים הקשורים במשיק למעגל.
תוכן עניינים |
[עריכה] משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
נתונים - מעגל וישר l כלשהו שמשיק לו. (אפשר לשרטט לבד- ההוכחה לא דורשת בניות עזר מיוחדות).
הוכחה - נתבונן על סדרת המרחקים ממרכז המעגל לנקודה כלשהי על הישר. נתעלם לרגע מקיומו של המעגל ונתייחס למרכז המעגל כאל נקודה רגילה. אם כך, המרחק הקצר ביותר מאותה נקודה לישר הוא אורך האנך שיורד מהנקודה אל הישר. בגלל שהמשיק עובר דרך המעגל, גודלו של המרחק הזה הוא רדיוס המעגל- כלומר, קיבלנו שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. מש"ל.
[עריכה] ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל
נתונים -
1) AO רדיוס
2) A נקודת החיבור של הרדיוס עם הישר l.
3) l מאונך ל-AO.
הוכחה -
4) נניח בדרך השלילה: l אינו משיק למעגל.
5) l חותך את המעגל בנקודה נוספת B. (ישר החותך את המעגל ואינו משיק לו חותך אותו בשתי נקודות, לפי 2,4)
6) ב.ע. BO רדיוס לנקודת החיתוך הנוספת.
7) 
(כל הרדיוסים שווים במעגל, לפי 1,6)
8) 
(זווית הבסיס שוות במשולש שווה שוקיים, לפי 3,7)
9) קיבלנו סתירה (סכום הזווית במשולש ABO גדול מ-180, לפי 8).
[עריכה] שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
נתונים -
1) AB, AC משיקים למעגל שמרכזו O
הוכחה -
2) ב.ע. OB, OC רדיוסים לנקודות ההשקה.
3) ב.ע. OA ישר העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך המשיקים
4) 
(משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה)
5) 
(שיוויון הינו רפלקסיבי - כל דבר שווה לעצמו)
6) 
(כל הרדיוסים שווים במעגל)
7) 
(מ1,3,4 משפט חפיפה רביעי - צ.צ.ז)
8) 
(צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ7)
[עריכה] קטע העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך שני משיקים חוצה את הזוית שביניהם
נתונים -
1) AB, AC משיקים למעגל שמרכזו O
הוכחה -
2) ב.ע. OB, OC רדיוסים לנקודות ההשקה.
3) (שיוויון הינו רפלקסיבי - כל דבר שווה לעצמו)
4) (כל הרדיוסים שווים במעגל)
5) (כתוצאה מהמשפט הקודם)
6) (מ3,4,5 משפט חפיפה ראשון - צ.צ.צ)
7) 
(זוויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
[עריכה] הזווית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני
נתונים - שרטט מעגל שמרכזו בנקודה O. שרטט מיתר כלשהו במעגל; נקרא לו AB . גם מנקודה A וגם מנקודה B - נמשוך משיקים; אלה ייפגשו בנקודה C . נשלים שרטוט של דלתון OACB. רצוי גם לחתוך אותו בקו OC. צריך להוכיח: זוית ABC שווה לזוית AOC (כי זוית AOB כפולה ממנה, וזוית היקפית הנשענת על AB היא, מצד אחד, שוה לזוית AOC, ומצד שני- ל-משלימה ל-180).
הוכחה - ההוכחה מתבססת על "זוית שבין רדיוס למשיק הינה זוית ישרה". יש לנו 2 זויות כאלה - למשל: OAC . אז אם זוית AOC היא X, אז זוית ACO היא "90 פחות X". ידוע לכל, כי המיתר AB מאונך ל-OC. כך שהזוית ABC גם היא שווה ל-X. המשלימה שלה, היא הזוית בין המשיק למיתר, היא "180 פחות X", וזו בדיות הזוית החיצונית למיתר AC מצידו השני...
[עריכה] שני מיתרים במעגל נחתכים כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר
נתונים - 1) AB וCD מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה E
הוכחה -
2) 
(שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו)
3) 
(זוויות קודקודיות שוות זו לזו)
4) 
(מ2,3 משפט דמיון שני ז.ז)
5) 
(צלעות מתאימות במשולשים דומים)
[עריכה] אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל אז מכפלת חלקי החותכים (החיצוני והפנימי) שווה
נתונים - ab חותך למעגל בנקודה d, ac חותך למעגל בנקודה e. צ"ל: ad*ab=ae*ac
הוכחה - ב"ע: cb, de (מיתרים במעגל). נתבונן במשולשים: abc, ade. 1. זוית a משותפת לשני המשולשים. 2. זוית bce, וזוית bde, שוות ל180 מעלות (זויות נגדיות במרובע חסום במעגל). 3. זויות ade=bce. 4. משולשים abc, aed דומים (מ1 ו3). 5. יחס הדמיון: ab/ae=ac/ad. 6.נכפול בהצלבה ונקבל: ab*ad=ac*ae מש"ל.
[עריכה] אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק
נתונים - ab משיק למעגל בנקודה b. ac חותך את המעגל בנקודות c, d. צ"ל: ab*ab=ac*ad.
הוכחה - ב"ע: bc, bd מיתרים במעגל. נתבונן במשולשים abc, adb 1. זוית a משותפת לשני המשולשים. 2. זויות abd=c, (זוית בין משיק למיתר שווה לזוית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני). 3. משולשים abc, adb דומים (מ1 ו2). 4. יחס הדמיון: ab/ad=ac/ab 5. נכפול בהצלבה ונקבל: ab*ab=ac*ad מש"ל.
