Henstock-Kurzweil-integraali

Wikipedia

Matematiikassa Henstock-Kurzweilin integraali, tunnettu myös nimillä Denjoyn integral ja Perronin integraali, on Riemannin integraalin yleistys. Se on myös toisinaan kätevämpi kuin Lebesguen integraali.

Integraalin määritteli ensimmäisen kerran Arnaud Denjoy vuonna 1912. Denjoy oli kiinnostunut integraalista, jolla voitiin integroida funktion

$f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right).$

tyyppisiä funktioita. Tällä funktiolla on singulariteetti nollassa eikä funktio ole Lebesgue integroituva. Vaikuttaa kuitenkin luonnolliselta integroida funktiota lukuun ottamatta väliä $[ - ε,ε]$ ja tämän jälkeen ε → 0+ (tätä kutsutaan integraalin pääarvoksi tai ehdolliseksi suppenemiseksi. Denjoyn ja Lebesguen integraalin määritelmät yhtyvät positiivisilla funktioilla.

Yrittäessään luoda yleistä teoriaa Denjoy käytti transfiniittistä induktiota eri tyyppisille singulaaripisteille, ja tämä teki integraalin määritelmän varsin monimutkaiseksi Nikolai Luzin ja Oskar Perron koittivat myös määritellä integraalia yksinkertaisemmin. Matemaatikoilta kesti hetken aikaa huomata, että Perronin ja Denjoyn integraalit ovat samat. Vuonna 1957 tšekkiläinen matemaatikko Jaroslav Kurzweil keksi integraalille elegantin määritelmän, joka oli luonteeltaan samanlainen kuin Riemannin integraali. Kurzweilin määritelmä sai jotkin yliopiston lehtorit harkitsemaan voitaisiinko uutta integraali käyttää differentiaali- ja integraalilaskennan peruskursseilla, mutta tämä ajatus ei lyönyt itseään läpi.

Toinen Henstockin integraalin ominaisuus on se, että jokainen funktio, joka on jonkin toisen funktion derivaatta, on integroituva, joten analyysin peruslause on voimassa Henstockin integraalille.

[muokkaa] Määritelmä

Henstockin määritelmä on seuraava. Olkoon P välin [a, b] jako, toisin sanoen

$a = u_0 < u_1 < \ldots < u_n = b, \ \ v_i \in [u_{i-1}, u_i]$

ja positiivinen funktio

$\delta : [a, b] \to (0, \infty)$ ,

jota kutsutaan mitaksi. Sanotaan, että P on $δ$ -hieno jos

$\forall i \ \ u_i - u_{i-1} < \delta (v_i)$ .

Jaolle P ja funktiolle

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$

määritellään Riemannin summa kaavalla

$\sum_P f = \sum_{i = 1}^n (u_i - u_{i-1}) f(v_i)$

Määritellään nyt annetulle funktiolle

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$

mittaintegraali I siten, että kaikille $ε > 0$ on olemassa $δ$ siten, että kaikilla $δ$ -hienoilla P on voimassa

$\left| \sum_P f - I \right| < \epsilon.$

Riemannin integraali voidaan tulkita Henstockin-Kurzweilin integraalin siinä erikoistapauksena, missä sallitaan vain vakiomitat. Huomaa, että Cousinin lemman mukaan kaikilla mitoilla $δ$ on olemassa $δ$ -hieno ositus.