Partícula en un anillo

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Suponemos una particula que se mueve libremente a lo largo de un anillo:

r 2 = x 2 + y 2

$P_x=\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}$

$P_y=\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dy}$

$\hat{H}\psi=E\psi$

Buscamos su estado de energía:

$E_{clasica}=T+V=\frac{1}{2}mv^2+0=\frac{1}{2}m(V_x^2+V_y^2)=\frac{1}{2m}(P_x^2+P_y^2)$

Ahora vamos a procurar transformar nuestra expresión de coordenadas cartesianas: $ψ(x, y, r)$ a coordenadas polares : $ψ(φ, r)$ :

$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{d^2}{dx^2}+\frac{d^2}{dy^2})=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2})$

$\Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2})$

$\hat{H}(\phi)=-\frac{\hbar^2}{2mI} \frac{d^2}{d\phi^2}$

Buscaremos las funciones que satisfagan el Hamiltoniano:

$-\frac{\hbar^2}{2mI} \frac{d^2\psi}{d\phi^2}=E\psi\Rightarrow \frac{d^2\psi}{d\phi^2}=\frac{-2IE}{\hbar^2}\psi$

Y como candidatos de mi función solución, serán aquellas funciones que sean cada una de ellas propias con el Hamiltoniano, o lo que es lo mismo, que cumplan que la derivada segunda aplicada sobre mi función candidata me de un autovalor por mi función de nuevo. Si encuentro más de una función que lo cumple, tendrán que darme un mismo autovalor todas ellas. A continuación, realizare una combinación lineal de esas funciones que, más tarde, tendrán que cumplir las condiciones de contorno de mi problema, o lo que es lo mismo, mi función tendrá que ser continua en los intervalos permitidos de la función solución de mi particula.

Puedo verificar fácilmente que el seno y el coseno cumplen esos requisitos para ser mis funciones candidatas, pero para simplificar calculos, de forma análoga, puedo escoger exponenciales que dependan de mi coordenada angular

Candidatos:

φ 1 = e k φ

φ 2 = e - k φ

$(1) \ \frac{d^2\psi_1}{d\phi^2} = k^2 e^{k\phi}=\frac{-2IE}{\hbar^2} e^{k\phi}\longrightarrow k^2=\frac{-2IE}{\hbar^2}\Rightarrow k=\sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}} i$

$(2) \ \frac{d^2\psi_2}{d\phi^2} = k^2 e^{-k\phi}=\frac{-2IE}{\hbar^2} e^{-k\phi}\longrightarrow k^2=\frac{-2IE}{\hbar^2}\Rightarrow k=\sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}} i$

Por lo tanto obtenemos nuestras funciones:

$\psi_1=e^{\sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}} i \phi}$

$\psi_2=e^{-\sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}} i \phi}$

Mi función (o vector) de estado , por tanto, debe de cumplir que sea una combinación lineal de ambas funciones:

$\psi(\phi)=Ae^{i \sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}} \phi}+Be^{-i \sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}} \phi}$

Para simplificar, suponemos: : $m=\sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}}$

De nuevo, tendremos que imponer una condición para que mi función se comporte bien (well-behaviour), en este caso, mi función tiene que ser continua en todos sus puntos. En este caso, una vuelta completa de mi particula en el anillo, me tiene que dar el mismo valor:

ψ(φ) = ψ(φ + 2π)

A e i m φ + B e - i m φ = A e i m (φ + 2π) + B e - i m (φ + 2π)

A e i m φ + B e - i m φ = A e i m φ e i m 2π + B e - i m φ e - i m 2π

A e i m φ (1 - e i m 2π) + B e - i m φ (1 - e - i m 2π) = 0

$\ \ \ \{(1-e^{-i m 2\pi})= e^{-im2\pi}(e^{i m 2\pi}-1)= -e^{-im2\pi}(1-e^{i m 2\pi})\}$

A e i m φ (1 - e i m 2π) + B e - i m φ ( - e - i m 2π)(1 - e i m 2π) = 0

(1 - e i m 2π)(A e i m φ - B e - i m φ e - i m 2π) = 0

$(1-e^{i m 2\pi})= 0\Rightarrow e^{im 2\pi}=1$

$cos(2m\pi)+ i sen(2m\pi)= 1 \ \ \ cos(2m\pi)= 1\ \ \ sen(2m\pi)= 0$

$\Rightarrow m = 0,\pm 1 , \pm 2, \pm 3 ...$

Obtengo mi Energía:

$\sqrt{\frac{2IE}{\hbar^2}}= m\Rightarrow E_m=\frac{\hbar^2}{2I}\ m^2$

Anotaciones y conclusiones: el número cuántico m puede tomar, en este caso, el valor 0, porque no anula a mi función en el espacio. Y por otra parte tenemos que para dos números cuánticos que sean iguales y opuestos, se ve que obtenemos la misma energía (al estar m al cuadrado): a esto se le llama que mi magnitud "Energía" está degenerado, obtengo estados degenerados en energía.

A continuación veremos el momento angular de la particula, es decir, vamos a ver si el operador $\hat{L_z}$ se comporta correctamente:

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$

$L_x, \ L_y$

L z = x P y - y P x

$\hat{L_z}=\frac{\hbar}{i} \ (x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x} )= \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}$

$\hat{L_z}\psi=L_z \psi$

$\hat{L_z}\psi=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi} \ (Ae^{im\phi}+Be^{-im\phi} )=\frac{\hbar}{i}(imAe^{im\phi}-imBe^{-im\phi} )=\hbar m(Ae^{im\phi}-Be^{-im\phi})\not = L_z \psi$

No es una función propia. Pero yo tengo infinitas funciones que determinan mi estado, como tal podré escoger un subconjunto propio de ellas en este caso:

$Si \ \ B=0: \ \ \ \ L_z\psi=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi} A e^{im\phi}=\hbar m A e^{im\phi}=\hbar m\psi$