Isomorfismo musical
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En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente TM y el fibrado cotangente T * M de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.
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[editar] Introducción
Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial 
que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector 
, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:
definido por:
es decir,
Globalmente,
es un difeomorfismo.
[editar] Motivación para el nombre
El isomorfismo 
y su inversa 
se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como 
y un covector como αidxi, así que el índice i sube y baja en α del mismo modo que los símbolos sostenido (
) y bemol (
) suben y bajan un semitono.
[editar] Gradiente
Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como:
