Homomorfismo de anillos

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Un homomorfismo de anillos es una aplicación entre anillos que conserva las estructuras de ambos como anillos.

En todo el artículo y son anillos.

Tabla de contenidos 1 Definiciones. 1.1 Caso general. 1.2 Anillos unitarios. 2 Propiedades.

[editar] Definiciones.

Dado que existen distintos tipos de anillos, hay que particularizar la definición.

[editar] Caso general.

Se dirá que la aplicación es un homomorfismo de anillos si se cumplen las siguientes dos condiciones:

• f(a + b) = f(a) + f(b), cualesquiera que sean .

• , cualesquiera que sean .

La primera condición nos dice que f es en particular un homomorfismo de grupos entre los grupos abelianos (R, + ) y (S, + ).

Con esta definición se ve que la imagen de f, Img(f) = f(R), es un subanillo de .

Se define el núcleo de f como el conjunto , es decir, Ker(f) = f ^{− 1}({0}). El núcleo de cualquier homomorfismo es un ideal (bilátero).

Se dice que f es un monomorfismo si es una aplicación inyectiva, es decir, f(a) = f(b) implica que a = b, cualesquiera que sean . Esto es equivalente a decir que Ker(f) = {0}.

Se dice que f es un epimorfismo si es una aplicación sobreyectiva, es decir, f(R) = Img(f) = S. No obstante, muchos autores prefieren no utilizar esta denominación, y hablar sólo de homomorfismos sobreyectivos (u homomorfismos exhaustivos).

Se dice que f es un isomorfismo existe el homomorfismo inverso de manera que y . Esto ocurre si y sólo f si es una aplicación biyectiva, es decir, f, es a la vez monomorfismo y homomorfismo exhaustivo.

[editar] Anillos unitarios.

Si R y S son anillos unitarios (cuyos elementos unidades son respectivamente 1_R y 1_S), entonces la aplicación se dirá que es un homomorfismo de anillos unitarios si es un homomorfismo de anillos y además se cumple que f(1_R) = 1_S.

El resto de conceptos definidos en el apartado Caso general son válidos sin modificar nada para anillos unitarios.

[editar] Propiedades.

• f(0) = 0. En efecto, f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), luego f(0) = 0.

• Si R' es subanillo de R, entonces f(R') es subanillo de S.

• Si S' es subanillo de S, entonces f ^{− 1}(S') es subanillo de R.

• Si I es ideal por la izquierda de S, entonces f ^{− 1}(I) es ideal por la izquierda de R.

• Si I es ideal por la derecha de S, entonces f ^{− 1}(I) es ideal por la derecha de R.

• Si I es ideal de S, entonces f ^{− 1}(I) es ideal de R.

• Si f es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la izquierda de R, entonces f ^{− 1}(I) es ideal por la izquierda de R.

• Si f es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la derecha de R, entonces f ^{− 1}(I) es ideal por la derecha de R.

• Si f es homomorfismo exhaustivo e I es ideal de R, entonces f ^{− 1}(I) es ideal de R.