Geometría hiperbólica
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La geometría hiperbólica se diferencia de la Geometría Euclidiana puesto que desacredita el quinto postulado de Euclides.
Específicamente, en la geometría Euclidiana,el Postulado de las Rectas Paralelas dice que, dada una recta R y un punto P externo a ella, hay una y sólo una recta que pasa por P que no intersecta a R. Comúnmente, la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de "paralela". En la geometría hiperbólica, este postulado es falso porque hay al menos, dos rectas distintas que pasan por P y las cuales no intersectan a R. Asumiendo esto, es posible demostrar una interesante propiedad de la geometría hiperbólica: hay dos clases de rectas que no intersectan a la recta R. Sea B un punto que no pertenece R tal que la recta PB es perpendicular a R. Considere la recta X que pasa por P, tal que X no intersecta a R y el ángulo theta entre PB y X (en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde PB) es lo más pequeño posible (i.e. cualquier ángulo más pequeño que theta, forzará a la recta a intersectar a R). Esta ( X ) , es llamada recta hiperparalela (o simplemente, recta paralela) en la geometría hiperbólica. En forma similar, la recta Y que forma el mismo ángulo theta entre PB y sí misma, pero ahora en sentido de las manecillas del reloj desde PB, también será hiperparalela, pero no pueden haber otras. Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersectan a R, forman ángulos más grandes que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas). Note que, al haber un número infinito de ángulos posibles entre theta y 90 grados, cada uno de éstos determinará dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a R, tendremos entonces, un número infinito de rectas ultraparalelas. Por consiguiente, tenemos esta forma modificada del Postulado de las Rectas Paralelas: En la Geometría Hiperbólica, dada una recta R y un punto P, no sobre R, hay exactamente dos rectas que pasan por P, las cuales son hiperparalelas a R, e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a R. Las diferencias entre estos tipos de rectas también pueden ser vistas de la siguiente forma: la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja infinitamente de PB por la recta R. Sin embargo, la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta R. El ángulo de paralelismo en la geometría Euclideana es una constante, es decir, cualquier longitud BP, determinará un ángulo de paralelismo igual a 90 grados. En la geometría hiperbólica, el ángulo de paralelismo varía con la que es llamada la función Π(p). Esta función, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produce un ángulo único de paralelismo para cada longitud dada BP. Mientras la longitud BP se haga más pequeña, el ángulo de paralelismo se acercará a 90 grados. Si la longitud BP incrementa sin límites, el ángulo de paralelismo se acercará a cero. Note que, debido a este hecho, mientras las distancias se hagan más pequeñas, el plano hiperbólico se comportará cada vez más como la Geometría Euclidiana. Por lo tanto, a pequeñas escalas, un observador en el plano hiperbólico tendrá dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano Euclideano.
[editar] Historia
La geometria hiperbólica fue inicialmente explorada por Giovanni Gerolamo Saccheri en el siglo XVIII quien, contradictoriamente creyó que no era consistente, y más adelante por János Bolyai, Carl Friedrich Gauss, y Nikolai Ivanovich Lobachevsky el cual da nombre a esta geometría en ciertas obras matemáticas. Hay cuatro modelos comúnmente usados en la geometría hiperbólica: el modelo de Klein, modelo del disco de Poincaré, y el modelo de Lorentz
El modelo de Klein, también conocido como el modelo proyectivo del disco ó modelo de Beltrami-Klein, usa el interior de un círculo como plano hiperbólico, y las cuerdas como líneas del círculo. Este modelo tiene como ventaja su simplicidad, pero como desventaja que los planos hiperbólicos están distorsionados.
