Ευκλείδεια γεωμετρία
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στα μαθηματικά, με τον όρο ευκλείδεια γεωμετρία αναφερόμαστε στην γεωμετρία του επιπέδου και του χώρου και αφορά σε ότι αντιλαμβανόμαστε ως σχήματα και στερεά σώματα. Η ονομασία της προέρχεται από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη, ο οποίος την θεμελίωσε.
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων, επίπεδων και στερεών που μπορεί να υπάρξουν μέσα σε αυτόν.
Στον χώρο διακρίνουμε τις επιφάνειες, τις γραμμές και τα σημεία. Οι επιφάνειες έχουν δύο διαστάσεις, οι γραμμές μια και τα σημεία καμία. Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή απο το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε για γραμμές της ασφάλτου ή σιδηροδρομικές γραμμές, επειδή το πλάτος στην μια περίπτωση και το πλάτος και το ύψος στην άλλη είναι αμελητέες διαστάσεις. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία οχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε Όρους της γεωμετρίας.
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία ήταν ο πρώτος κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε ώς επιστήμη και ο για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
[Επεξεργασία] Σύνθεση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
Οι περισσότεροι γνωρίζουν τι είναι κύκλος, τετράγωνο, ευθεία, κύβος κλπ. Ωστόσο για όσους δεν μελετούν την Ευκλείδεια Γεωμετρία προκείται για έννοιες ασύνδετες μεταξύ τους. Η γεωμετρία τις θεμελιώνει, δηλαδή τις οργανώνει σε ένα σύστημα και φυσικά προσθέτει και νέες γνώσεις σε αυτές που ήδη υπάρχουν. Κάθε καινούργιο αποτέλεσμα προκύπτει άμεσα από τα προηγούμενα χρησημοποιώντας την διδικασία της απόδειξης που στηρίζεται στους κανόνες της λογικής. Για παράδειγμα, το τετράγωνο είναι μια σύνθετη έννοια, όσο απλό κι αν φαίνεται: Έχει ίσες πλευρές και μάλιστα ανα δύο παράλληλες, ίσες γωνίες και μάλιστα ορθές. Επομένως, πρέπει να ξεκαθαριστεί πρώτα τι είναι ισότητα και ανισότητα πλευρών και γωνιών, τι είναι παραλληλία και τι ορθή γωνία (καθετότητα). Μόνο μετά από αυτά θα μπορούμε να ορίσουμε πραγματικά το τετράγωνο. Οπώς και με το τετράγωνο έτσι και με οτιδήποτε άλλο, η γεωμετρία προχωρά απο το πιο απλό στο πιο σύνθετο.
[Επεξεργασία] Πρωταρχικές γεωμετρικές έννοιες και παραδοχές
Η μελέτη της γεωμετρίας ξεκινά από έννοιες οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά. Αυτές είναι οι έννοιες σημείο, ευθεία και επίπεδο τις οποίες δεχόμαστε ώς πρωταρχικές χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Οι έννοιες αυτές υπόκεινται σε ορισμένες παραδοχές (αξιώματα). Χαρακτηριστηκά αναφέρονται (αναλυτικότερα στην Αξιώματα Χίλμπερτ):
- Απο 2 σημεία διέρχεται μία μοναδική ευθεία
- Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του επιπέδου που δεν ανήκει σε αυτήν.
- Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις χωρίς διακοπές και κενά.
- 'Εστω μία ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής σε ένα επίπεδο. Από το σημείο αυτο διέρχεται μία μοναδική ευθεία πάνω στο επίπεδο που δεν έχει κοινό σημείο με την πρώτη (αξίωμα των παραλλήλων ή Ευκλείδειο αίτημα).
Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα και της ευκλείδειας γεωμετρίας και κάθε απόδειξη στηρίζεται και προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα.
[Επεξεργασία] Αξίωμα των παραλλήλων
Το αξίωμα των παραλλήλων θεωρήθηκε ότι δεν είναι διαισθητικά προφανές, όπως τα υπόλοιπα αξιώματα, και διατυπώθηκε η εικασία πως δεν είναι αξίωμα αλλά θεώρημα. Κατά την προσπάθεια απόδειξής του βρεθηκαν προτάσεις που είναι ισοδυναμες με αυτό, όπως ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγωνου ισούται με 180°. Ορισμένοι μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το αξίωμα των παραλλήλων με την εις άτοπον επαγωγή. Από τις προσπάτειες αυτές γεννήθηκε η υπερβολική γεωμετρία, η οποία στη θέση του αξιώματος των παραλλήλων δέχεται ότι υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο εκτός μίας δεδομένης ευθείας και δεν την τέμνουν.
Πλέον έχει αποδειχτεί ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο των υπολοίπων αξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας.
