Sèrie de Taylor

De Viquipèdia

En matemàtiques, la sèrie de Taylor de formula funció f infinitament derivable (real o complexa) definida en un interval obert (a-r, a+r) es defineix amb la següent suma:

Aquí, n! és el factorial n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la enèsima derivada de f en el punt a.

Si aquesta sèrie convergeix per a tot x pertanyent a l'interval (a-r, a+r) i la suma és igual a f(x), llavors la funció f(x) es diu analítica. Per a comprovar si la sèrie convergeix a f(x), se sol utilitzar una estimació de la resta del teorema de Taylor. Una funció és analítica si i solament si es pot representar amb una sèrie de potències; els coeficients d'aquesta sèrie són necessàriament els determinats en la fórmula de la sèrie de Taylor.

Si a = 0, a la sèrie se l'anomena sèrie de Maclaurin. Aquesta representació té tres avantatges importants:

• La derivació i integració d'una d'aquestes sèries es pot realitzar terme a terme, que resulten operacions trivials.
• Es pot utilitzar per a calcular valors aproximats de la funció.
• És possible demostrar que, si és viable la transformació d'una funció a una sèrie de Taylor, és l'òptima aproximació possible.

[edita] Història

La sèrie de Taylor pren el seu nom d'el matemàtic Brook Taylor, que va ser el primer a publicar aquestes fórmules, en 1715.

Aquest article sobre matemàtiques és un esborrany i possiblement li calgui una expansió substancial o una bona reestructuració del seu contingut. Per això, podeu ajudar a la Viquipèdia expandint-lo i millorant la seva qualitat traduint d'altres Viquipèdies, posant textos amb el permís de l'autor o extraient-ne informació.