Conjunt de Cantor

De Viquipèdia

Taula de continguts

1 Introducció
2 Càlcul dels elements de F
3 Naturalesa de F
- 3.1 DEMOSTRACIÓ DE LA POTÈNCIA DE F
4 Extensions a d'altres fractals

[edita] Introducció

El conjunt de Cantor és un conjunt fractal que es construeix de la següent manera: imaginem que tenim l'interval tancat [0,1], a aquest l'anomenarem F₀. A continuació procedim a dividir en tres parts aquest interval i d'aquest procés n'obtenim la col·lecció {[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]}, dels quals n'omitim el central; així doncs anomenarem F₁ al conjunt format per la següent col·lecció: {[0,1/3],[2/3,1]}. A la següent iteració fem exactament el mateix procés a cadascuna de les parts (iteració tipus de qualsevol fractal geomètric), per tant F₂ serà {[0,1/9],[2/9,1/3],[2/3,7/9],[8/9,1]}.

Si procedim a iterar aquest procés de manera indefinida obtindrem el que es coneix com a «conjunt de Cantor», denotat per F, i algebraicament com:

$F=\cap_{i=0}^\infty F_n$

El conjunt de Cantor ens pot servir d'exemple molt esclaridor per entendre la naturalesa de la recta real. El primer que ens podem preguntar és quins elements formen el conjunt F. Doncs bé si realitzem un gràfic del procés iteratiu que conforma el conjunt de Cantor veurem:

Com podem apreciar, a mesura que iterem els subintervals es van fent més petits, i la seva col·locació no és arbitrària. Efectivament, si ens hi fixem podem apreciar com la distància entre intervals (que portat al límit és el propi punt) és inicialment la marcada per la iteració (és a dir 1/3^j), al següent grup de dos augmenta a raó de tres aquesta distància, per tornar a ser el pas d'iteració.

En definitiva, el joc de distàncies en el conjunt de Cantor es comporta com un rellotge de tantes agulles com iteracions hem realitzat. Dit en llenguatge de programació, per a descriure la posició dels intervals necesitaríem i "for" per a cada subdistància (on i és l'índex d'iteració, i els subintervals consecutius difereixen en raó de 3). Així doncs, és immediat adonar-se que podrem representar cada inici d'interval (que a la pràctica serà amb allò que treballem) amb una sèrie en alguna base que encara no hem triat.

[edita] Càlcul dels elements de F

A continuació ens podem fixar de quina manera podem tractar el conjunt d'intervals per a minimitzar la tasca; és trivial observar que per a cada iteració el pas d'interval es redueix en 3, i el nombre de subintervals creix en raó de dos, així doncs ja tenim la nostra unitat mínima de treball. Un cop trobades les nostres individualitats, apreciem que, en realitat, qualsevol subinterval el podem aproximar per un dels seus extrems (aquesta aproximació esdevé exacte al límit), i que tot subinterval té un dels seus extrems coincident amb la subdivisió anterior, l'anterior també i així successivament. Així doncs, si al nostre gràfic volem aproximar la posició respecte el 0 del 6è punt farem:

x₆ = 0/3 + 0/9 + 0/27 + 2/81 + 0/243 + 2/729

El procés és el següent: situem el punt dins d'un dels subintervals de la primera iteració, en el nostre cas es troba a l'inici del primer, per tant tenim 0/3; a continuació el situem als subintervals de la segona iteració, en el nostre cas a l'inici del primer també, per tant 0/9; després a passem a la següente col·lecció de subintervals, en aquest cas es troba a l'inici del tercer, per tant 2/27; a la següent iteració es troba a l'inici del primer, per tant 0/81; a la cinquena iteració es continua trobant a l'inici del primer interval per tant tornem a trobar-nos 0/243; i finalment a la darrera iteració el nostre sisè punt el tenim al final del segon subconjunt, per tant 2/729.

Seguint el mateix procediment es pot trobar la posició relativa al zero del vintè punt, que és:

x₂₀ = 0/3 + 2/9 + 0/27 + 0/81 + 2/243 + 2/729

Així doncs, si portem al infinit aquest procediment obtindrem de manera exacta la posició dels punts que conformen el conjunt F, i a més veiem que qualsevol punt que pertanyi a aquest conjunt serà de la forma que hem descrit abans, és a dir, qualsevol nombre pertanyent al conjunt F es pot representar com a sèrie de potències de tres ponderades pels 0 ó 2. Aquest darrer fet ens permet expressar qualsevol punt n pertanyent a F com:

$n=\sum_{i=0}^\infty \frac {a_i}{3^i}$

[edita] Naturalesa de F

Un cop havent vist l'aspecte dels punts que conformen el nostre conjunt de Cantor, ens preguntem quina natura té el conjunt de Cantor. Primer de tot caldria caracteritzar algebraicament el conjunt F, i és que, en realitat, el conjunt de Cantor no va nèixer com a tal a partir de la fragmentació iterativa que hem descrit. En efecte, la motivació que va moure Georg Cantor a l'hora de donar forma al conjunt que porta el seu nom va ser la de crear un conjunt amb potència de continu que tingués un aspecte discret (és a dir, numerable). La forma en què Cantor va decidir treballar va ser la de les sèries fonamentals de Cauchy, i efectivament observem com la forma dels punts del conjunt F són sèries que convergeixen als punts de F. Així doncs podrem dir directament que F és un espai mètric complet, definida la mètrica com la usual. Òbviament, en el moment en què diem que F és complet estem admitint que és de potència continua, tot i que més endavant demostrarem analíticament aquesta afirmació. A més , si tornem a descriure matemàticament la forma dels punts que conformen F:

$n=\sum_{i=0}^\infty \frac {a_i}{3^i}$

Veiem com dos punts consecutius diferiran l'un respecte l'altre en el darrer dígit, corresponent aquest a la potència de tres més petita, és a dir:

$n_1-n_2=\sum_{i=0}^\infty \frac {a_i}{3^i}-\sum_{j=0}^\infty \frac {a_j}{3^j}=\lim_{j\to \infty}\frac{2}{3^j}= \delta$

Així doncs, podem crear una bola oberta amb centre $x 0$ a un punt qualsevol i amb radi arbitrari $ε$ i trobarem infinits punts continguts dins el veinatge, per tant la totalitat dels punts del conjunt F seran d'acumulació. Tot i això aquests no pertanyaran a l'interior del conjunt F: efectivament, només cal canviar el darrer dos de la sèrie que determina qualsevol punt de F per un 1 per trobar un punt intermig entre dos consecutius, per tant entenem que F està format per la unió no numerable de conjunts tancats sense interior. Com a conseqüències obtenim: que el subconjunt de F format pels punts que són extrems d'interval (anomenats de primer gènere) és un subconjunt sempre dens en F, és a dir, que l'adherència d'aquest és F; per altra banda podem catalogar F com a conjunt d'Stone per ser l'acumulació igual a l'adherència i no tindre interior. I finalment podem enunciar el valor que pren la potència de continu en relació a la ja coneguda $a l e p h 0$ : efectivament, com hem esmentat anteriorment, la forma del conjunt de Cantor dut al límit serà la d'un conjunt de punts la separació entre els quals anirà diferent én raó 3 segons els subgrups, així les coses la mínima distància entre dos punts serà la pròpia d'una punt, és a dir, teòricament inexistent, per tant la cardinalitat del conjunt F serà tal com: $C(F)=\lim_{j\to \infty}2^j=2^{\aleph_0}=\aleph_1$ Com veiem, el conjunt de Cantor ens ha permés caracteritzar del tot la recta real, tal i com s'havia promés.

[edita] DEMOSTRACIÓ DE LA POTÈNCIA DE F

Resulta que si ens fixem en la forma d'aquests punts observem que és idèntica a l desenvolupament d'un nombre en base ternària, tot i que, com hem explicitat anteriorment, els a_i només poden valdre o bé 0 o bé 2. Tot i així és immediat observar que es pot estendre una relació biunívoca entre el conjunt de sèries {a₁,a₂,...,a_k,...} referides als coeficients de la sèrie dels punts del conjunt F i el conjunt de sèries {b₁,b₂,...,b_k,...} referides al desenvolupamnet en base dos de qualsevol nombre real. Per tan veiem com efectivament existeix una relació biunívoca entre els elements del conjunt F i la recta real, això ens diu que la potència del conjunt F es de continu (!!). A més, resulta que la llargària del conjunt complementari a F en [0,1], denotat per [0,1]\F, és la unitat, ja que, com hem dit anteriorment l'amplitud dels intervals segueix el següent comportament amb j (on j és l'índex de la iteració):

$l=\sum_{i=0}^{2^j} \frac {1}{3^j}=2^j*\frac{1}{3^j}$

Com podem apreciar, si portem al límit aquest sumatori, és a dir, si forcem el límit superior al infinit aquesta suma dóna zero, aquest fet s´observa més clarament en el terme dret de la igualtat: $\lim_{j\to \infty}\frac{2^j}{3^j}=0$ Així doncs, tenim per una banda que el conjunt F té una potència de continu, i per l'altra que la seva mesura val 0, aquest fet pot sobtar en un primer moment, tot i que si reescribim l'equació de la llargària veurem el perquè d'aquesta suposada incoherència:

$l=\sum_{i=0}^\infty \delta_i$

En aquest sumatori intervé un conjunt numerable d'elements que podem anomenar diferencials, i per intervenir ordres de potència diferents el sumatori val zero, tot i així allò important d'aquesta igualtat és el fet de que on es troba la potència de continu és a la densitat dels diferenials no a la seva llargària.

[edita] Extensions a d'altres fractals

Finalment, referit al conjunt de Cantor, podem fer un darrer estudi. Si tornem a observar el gràfic pertanyent a la 6ena iteració en la construcció de F podem observar com, al cap i a la fi, el conjunt de Cantor no és altra cosa que una plantilla de l'eix horitzontal del fractal de Koch (la corba de Koch). En efecte, si observem les subdivisions ens adonem que coincideixen en les fetes a l'hora de contruir el famós floquet de neu, i que els punts del conjunt F no són altra cosa que els vèrtexs inferiors que conformen els triangles de la corba de Koch. A més, la distància entre subgrups de dos punts consecutius en el conjunt F determinarà l'alçada del triangle de què formen part. Aquesta relació és la que segueix: $h_j=\frac{1}{3^j}*\sqrt\frac{3}{2}$ En aquest cas, la llargària de la corba de Koch, fent servir excatament el mateix anàlisi emprat per al cas del conjunt de Cantor, quedarà determinada per la següent expressió:

$L=\sum_{i=0}^{4^j} \frac {1}{3^j}=4^j*\frac{1}{3^j}$

Com podem apreciar immediatament la llargària d'aquesta corba, fent servir exactament el mateix anàlisi emprat al conjunt de Cantor, esdevindrà infinita: $\lim_{j\to \infty}\frac{4^j}{3^j}=\infty$ Una possible explicació al fet de que, en un espai finit puguem construir un element de llargària infinita, és que al cap i a la fi la corba de Koch omple l'espai bidimensional mitjançant una estructura unidimensional. Així doncs, podem afirmar que una manera de construir corbes que omplin l'espai és mitjançant fractals tals que el nombre de costats del patró sigui major o igual a 2.

Generalitzant el cas per a qualsevol fractal geomètric com els descrits anteriorment serà:

$L=\sum_{i=0}^{(2+n)^j} \frac{1}{3^j}=(2+n)^j*\frac{1}{3^j}$

A on $n$ és el nombre de costats del patró que es va repetint a cada subinterval (al conjunt de Cantor és 0, a la corba de Koch és 2, al triangle de Sierpynski és 3...). Per tant podem enunciar com a conclusió final que el conjunt de Cantor serà l'únic fractal pertanyent als fractals construits com s'ha explicat (mode iteratiu i geomètric) que tingui llargària finita (no tenint en compte el cas en que el límit esdevingui indeterminació).

Obtingut de "http://ca.wikipedia.org../../../c/o/n/Conjunt_de_Cantor_9eef.html"

Categoria: Fractals