Espaciu euclideu
De Uiquipedia
Un espaciu euclídeu ye un espaciu vectorial normáu de dimensión finita en que la norma ye heredada dun productu escalar.
L'espaciu euclídeu ye'l espaciu matemáticu n-dimensional usual , una xeneralización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiaos por Euclides. Formalmente, pa cada númberu enteru non negativu n, l'espaciu euclídeu n-dimensional ye'l conxuntu ℝn (u con ℝ queremos dicir el conxuntu de los númberos reales) xunto cola función distancia obtenida mediante la siguiente definición de distancia ente dos puntos (x1, ..., xn) e (y1, ...,yn): la raíz cuadrada de Σ (xi-yi)², u la suma ye sobre i = 1, ..., n.
Esta función distancia ta basada nel teorema de Pitágoras y ye nomada métrica euclídea.
El términu "espaciu euclídeu n-dimensional" ye usualmente abreviáu a "n-espaciu euclídeu", o sólo "n-espaciu". El n-espaciu euclídeu denotase por E n, anque ℝn ye bastante usáu (sobreentendiendo la métrica). E 2 dizse el planu euclídeu.
Por definición, E n ye un espaciu métricu, y ye por tanto tamién un espaciu topolóxicu; ye'l exemplu prototípicu duna n-variedá, y ye una n-variedá diferenciable. Pa n ≠ 4, cualesquier n-variedad diferenciable que seya homeomorfa a E n ye tamién difeomorfa a ella. El fechu sorprendente ye qu'esto nun ye cierto tamién pa n = 4, lo que foi probao por Simon Donaldson nel añu1982; los contraexemplos nómense 4-espacios exóticos (o falsos).
Puede decise muncho sobre la topoloxía dE n.Un resultáu importante, la invariancia del dominiu de Brouwer, ye'l de que cualesquier subconxuntu dE n que sea homeomorfu a un subconxuntu abiertu dE n ye en sí mesmu abiertu. Como consecuencia inmediata desto se tien queE m nun ye homeomorfu a E n si m ≠ n -- un resultáu intuitivamente "obviu" qu'ensin embargu nun ye fácil de demostrar.
El n-espaciu euclídeu pue considerase tamién como un Espaciu vectorial n-dimensional real , de fechu un Espaciu de Hilbert, de mena ñatural. El productu interior, tamién nomáu productu puntu, de x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn) ta dau por
