مبرهنة الألوان الأربعة
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
مبرهنة الألوان الأربعة تنص على أنه يمكن لأي مستوى مقسّم إلى عدّة مناطق أن يلّون فقط بأربعة ألوان على أكثر تقدير, بحيث لا تلون منطقتان متجاورتان (لهما نفس الحدود) بنفس اللون، إلا في حالة تشاركهما في نقطة واحدة.
[تحرير] برهان منطقي
- الفكرة العامة هو أن أي منطقة إذا كانت محاطة بعدد زوجي من المناطق فإننا نحتاج فقط لعدد 3 ألوان لتلوين المنطقة والمناطق المحيطة بها مباشرة - لون 1 للمنطقة نفسها - لون 2 لأول منطقة من المناطق المحيطة بها ثم لون 3 للمنطقة التالية من المناطق المحيطة وهكذا بالتبادل 2 ثم 3 وتنتهي أخر منطقة باللون 3 دون وجود منطقتين متجاورتين لهما نفس اللون .
- أم إذا كانت المنطقة محاطة بعدد فردي من المناطق فنحتاج لأربعة ألوان فقط واللون الرابع لتلوين المنطقة الأخيرة والتي ترتيبها فردي حيث تليها المنطقة الأولي والتي ترتيبها فردي أيضا ومن ثم فإن أقصي عدد من الألوان المختلفة والتي تلزم لتلوين خريطة تضم عددا من المناطق هو أربعة ألوان فقط
[تحرير] البرهنة
من الممكن, ربط مشكل الألوان الأربعة, بمشكلة تلوين المخطط
نربط كل رسم, بمخطط عادي كل رأس يمثل منطقة, و يتم ربط الرؤوس التي تمثل مناطق لها نفس الحدود.
هذا يعني أن تلوين الخريطة مرتبط بتلوين المخطط المستوي المرتبط بالخريطة. و هكذا تكون خوارزمية التلوين كما يلي:
[تحرير] خوارزمية التلوين
ملاحظة: نستعمل الأرقام 1، 2، 3 و 4 للتعبير عن الألوان الأربعة.
- رسم المخطط المستوي المرتبط بالخريطة.
- نأخد مثلثا و نلون رؤوسه بالألوان 1، 2 و 3.
- انطلاقا من هذا المثلث نحاول تلوين القمم باستعمال الألوان الثلاث الأولى.(سيكون التلوين في هذه الحالة إجباريا).
- نأخد مثلثا آخر غير ملون و نعيد المرحلتين رقم 2 و 3.
- نستعمل اللون الرابع فقط في الحالة التي تكون فيها قمة ما مرتبطة في آن واحد بثلاثة قمم ذات 3 ألوان مختلفة.
- نعود للخريطة و نلونها حسب الألوان المحصل عليها.
