Vierkleurenstelling

De vierkleurenstelling is de stelling in de wiskunde dat het mogelijk is elke willekeurige landkaart waarin de landen elk een geheel vormen (dus zonder exclaves), met behulp van slechts vier kleuren zo in te kleuren dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen. Twee landen gelden hierbij als aangrenzend als ze een stuk grens gemeen hebben, niet als ze slechts met een punt aan elkaar verbonden zijn. In meer wiskundige termen kan de vierkleurenstelling beschreven worden in de terminologie van de grafentheorie: Van elke vlakke graaf kunnen de knopen op een dusdanige wijze in vier groepen worden verdeeld, dat geen enkele zijde twee knopen van dezelfde groep verbindt.

De stelling werd geponeerd in 1853 door Francis Guthrie. Enige tijd stond het open als probleem, maar in 1879 publiceerde Alfred Bray Kempe een bewijs. Gedurende 10 jaar stond de vierkleurenstelling bekend als bewezen, totdat Percy John Heawood in 1890 een fout in Kempes bewijs vond. Het gat kon niet gerepareerd worden; wel gebruikte Heawood Kempes bewijs om aan te tonen dat 5 kleuren voldoende waren, en hij bewees ook diverse andere aan de vierkleurenstelling verwante stellingen.

Pas in 1976 werd een nieuw bewijs gevonden, door Ken Appel en Wolfgang Haken. Ze brachten het vierkleurenprobleem terug tot een groot doch eindig aantal (vele honderden) speciale gevallen en lieten vervolgens een computer al deze speciale gevallen uitrekenen. Sommige wiskundigen beschouwen dit niet als een bewijs, omdat het de computer gebruikte, en ook zonder computer niet te controleren is. Zij beschouwen de uitkomst van Appel en Haken (en anderen die later op vergelijkbare methoden de vierkleurenstelling bewezen) meer als een experimenteel resultaat dan als een daadwerkelijk wiskundig bewijs.

De tak van de wiskunde die zaken als de vierkleurenstelling bestudeert, is de topologie. Hoewel in handboeken in de cartografie het inkleuren van kaarten besproken wordt, zijn cartografen in het algemeen niet geïnteresseerd in het minimum aantal kleuren wat voor een kaart nodig is.

[bewerk] Andere vormen

Er zijn ook andere vormen waar je weer vormen op kunt tekenen. Wanneer je deze gaat inkleuren krijg je de volgende uitkomsten.

[bewerk] Torus

Bovenstaande stelling geldt alleen op een plat vlak. Wanneer men gebruik maakt van een torus zijn er maximaal 6 kleuren nodig. In zo'n torus grenzen de vlakken niet alleen rondom, maar ook boven en onder aan elkaar. Dit wil zeggen dat de buitenste figuren over de achterkant doorlopen naar de andere figuur die aan de rand ligt.