雙曲複數

雙曲複數是異於複數的實數的推廣。

[编辑] 定義

考慮數 $z = x + j y$ ，其中 $x, y$ 是實數，而量 $j$ 不是實數，但 $j 2$ 是實數。

選取 $j 2 = - 1$ ，得到一般複數。取 $+ 1$ 的話，便得到雙曲複數。

(x + j y) + (u + j v) = (x + u) + j (y + v)

(x + j y)(u + j v) = (x + j y)(u) + (x + j y)(j v) = x u + j y u + j x v + j 2 y v = (x u + y v) + j (x v + y u)

對於 $z = x + j y$ ，其共軛值 $z * = x - j y$ 。對於任何雙曲複數 $z, w$ ，

(z + w) * = z * + w *

(z w) * = z * w *

(z *) * = z

可見它是自同構的。

定義內積為 $\langle z, w \rangle = Re(zw^*) = Re(zw^*) = xu-yv$ 。若 $\langle z, w \rangle = 0$ ，說 $z, w$ （雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

$\lVert z \rVert = \langle z, z \rangle = z z^* = z^* z = x^2 - y^2$ 。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變： $\lVert zw \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert$ 。

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{z^*}{z z^*} = \frac{z^*}{\lVert z \lVert}$

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為 $k(1 \pm j)$ ，其中 $k$ 是實數。

雙曲複數有哪些冪等元？

列方程 $(x + j y) 2 = (x 2 + y 2) + 2 x y j$ 。有四個解： $1,0, s = (1 - j) / 2, s * = (1 + j) / 2$ 。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。 $z = x + j y = (x - y) s + (x + y) s *$ 。

若將 $z = a e + b e *$ 表示成 $(a, b)$ ，雙曲複數的乘法可表示成 $(a, b)(c, d) = (a c, b d)$ 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為 $(a, b) * = (b, a)$ ，範數 $\lVert (a,b) \rVert = ab$ 。

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R^1,1。正如歐幾理德平面R²的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的 $a$ ，點集 $\{z : \lVert z \lVert = a^2 \}$ 是雙曲線。左邊和右邊的會經過 $a$ 和 $- a$ 。 $a = 1$ 稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是 $\{z : \lVert z \lVert = -a^2 \}$ ，會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 $\{z : \lVert z \lVert = 0 \}$ 分開。

歐拉公式的相應版本是 $e j θ = cosh(θ) + j sinh(θ)$ 。

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的洛侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。