線性相關性
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在線性代數裡,向量空間的一組元素稱為線性無關(或稱線性獨立),如果其中沒有向量可表示成有限個其他向量的線性組合,反之稱為線性相關。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關,因為第三個是前兩個的和。
[编辑] 定義
設V是在域K上的向量空間。如果v1, v2, ..., vn 是V的向量,稱它們為線性相關,如果從域K 中有非全零的元素a1, a2, ..., an,適合
- ;
或更簡略地表示成,
- 。
(注意右邊的零是V的零向量,不是K的零元素。)
如果K中不存在這樣的元素,那麼v1, v2, ..., vn是線性無關。
對線性無關可以給出更直接的定義。向量v1, v2, ..., vn線性無關,若且唯若它們滿足以下條件:如果a1, a2, ..., an是K的元素,適合:
- a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0,
那麼對所有i = 1, 2, ..., n都有ai = 0。
在V中的一個無限集,如果它任何一個有限子集都是線性無關,那麼原來的無限集也是線性無關。
線性相關性是線性代數的重要概念,因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間,而這組向量則是這向量空間的基。