積性函數
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在非數論的領域,積性函數指有對於任何a,b都有性質f(ab)=f(a)f(b)的函數。
而本條目只討論在數論中的積性函數。對於正整數n的一個算術函數f(n),當中f(1)=1且當a,b互質,f(ab)=f(a)f(b),在數論上就稱它為積性函數。若某算術函數f(n)符合f(1)=1,且就算a,b不互質,f(ab)=f(a)f(b),稱它為完全積性的。
[编辑] 例子
- φ(n) -歐拉φ函數,計算與n互質的正整數之數目
- μ(n) -默比烏斯函數,關於非平方數的質因子數目
- gcd(n,k) -最大公因數,當k固定的情況
- d(n) -n的正因數數目
- σ(n) -n的所有正因數之和
- σk(n): 因數函數,n的所有正因數的k次冪之和,當中k可為任何複數。在特例中有:
- σ0(n) = d(n) 及
- σ1(n) = σ(n)
- 1(n) -不變的函數,定義為 1(n)=1 (完全積性)
- Id(n) -單位函數,定義為 Id(n)=n (完全積性)
- Idk(n) -冪函數,對於任何複數、實數k,定義為Idk(n) = nk (完全積性)
- Id0(n) = 1(n) 及
- Id1(n) = Id(n)
- ε(n) -定義為:若n = 1,ε(n)=1;若n > 1,ε(n)=0。有時稱為「對於狄利克雷迴旋的乘法單位」(完全積性)
- (n/p) -勒讓德符號,p是固定質數(完全積性)
- λ(n) -劉維爾函數,關於能整除n的質因子的數目
- γ(n),定義為γ(n)=(-1)ω(n),在此加性函數ω(n)是不同能整除n的質數的數目
- 所有狄利克雷特性均是完全積性的
[编辑] 性質
積性函數的值完全由質數的冪決定,這和算術基本定理有關。即是說,若將n表示成質因數分解式如paqb...rc,則f(n) = f(pa)f(qb)...f(rc)。
[编辑] 參見
- 狄利克雷迴旋