法里數列

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數學上，n階的法里數列是0和1之間最簡分數的數列，由小至大排列，每個分數的分母不大於n。每個法里數列從0開始，至1結束，寫作⁰⁄₁和¹⁄₁，但有些人不把這兩項包括進去。有時法里數列也稱為法里級數，嚴格來說這名字不正確，因為法里數列的項不會加起來。

[编辑] 例子

1至8階的法里數列如下：

F₁ = {⁰⁄₁, ¹⁄₁}

F₂ = {⁰⁄₁, ¹⁄₂, ¹⁄₁}

F₃ = {⁰⁄₁, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃, ¹⁄₁}

F₄ = {⁰⁄₁, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃, ³⁄₄, ¹⁄₁}

F₅ = {⁰⁄₁, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ¹⁄₁}

F₆ = {⁰⁄₁, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ¹⁄₁}

F₇ = {⁰⁄₁, ¹⁄₇, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ²⁄₇, ¹⁄₃, ²⁄₅, ³⁄₇, ¹⁄₂, ⁴⁄₇, ³⁄₅, ²⁄₃, ⁵⁄₇, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ⁶⁄₇, ¹⁄₁}

F₈ = {⁰⁄₁, ¹⁄₈, ¹⁄₇, ¹⁄₆, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ²⁄₇, ¹⁄₃, ³⁄₈, ²⁄₅, ³⁄₇, ¹⁄₂, ⁴⁄₇, ³⁄₅, ⁵⁄₈, ²⁄₃, ⁵⁄₇, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ⁵⁄₆, ⁶⁄₇, ⁷⁄₈, ¹⁄₁}

[编辑] 歷史

「法里數列」歷史頗為稀奇。 — Hardy & Wright (1979) 第三章

……又一次，數學關係的名字取自一個人，但記錄所載這人不是其發現者。 — Beiler (1964) 第十六章

法里數列是以英國地質學家老約翰·法里得名，他關於這數列的信刊登在1816年的《哲學雜誌》。法里猜測這數列的每一項都是相鄰兩項的中間分數；不過，以所知道的資料，他沒有證明這個性質。法里的信給柯西讀了，就給了一個證明在他的《數學習題》，把這結果歸到法里上。其實，另一位數學家 C. Haros 曾在1802年發表了相類似的結果，幾乎可以肯定法里和柯西都沒看過。所以，法里的名字給了這個數列，是歷史的一次意外。

[编辑] 性質

[编辑] 數列長度

n階的法里數列 $F n$ 包含了較低階的法里數列的全部項，特別是它包含 $F n - 1$ 的全部項，和與n互質的每個數的相應分數。所以 $F 6$ 包含了 $F 5$ 和分數¹⁄₆及⁵⁄₆。對大於1的n，其法里數列的中間項必定是¹⁄₂。

從上， $F n$ 和 $F n - 1$ 的長度的關係，可以用歐拉函數 $\varphi(n)$ 描述：

$|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n)$ 。

從 $| F 1 | = 2$ 這項資料，可以推導出 $F n$ 的長度公式：

$|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m)$ 。

$| F n |$ 的漸近行為是：

$|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}$ 。

[编辑] 數列鄰項

法里數列的相鄰分數項有下述性質：

若^a⁄_b和^c⁄_d是法里數列的鄰項，而有^a⁄_b < ^c⁄_d，則它們之差^c⁄_d − ^a⁄_b是¹⁄_bd。由於

$\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}$ ，

上文就等於是說

bc − ad = 1。

例如¹⁄₃和²⁄₅在 $F 5$ 中是鄰項，它們之差為¹⁄₁₅。

這結果的逆命題也成立。若

bc − ad = 1，

其中a,b,c和d為正整數，及有a < b和c < d，則^a⁄_b和^c⁄_d在階為 $max(b, d)$ 的法里數列中是鄰項。

若^p⁄_q在某法里數列的鄰項是^a⁄_b和^c⁄_d，及

^a⁄_b < ^p⁄_q < ^c⁄_d，

則^p⁄_q是^a⁄_b和^c⁄_d的中間分數。換句話說，

$\frac{p}{q}=\frac{a+c}{b+d}$ 。

又若^a⁄_b和^c⁄_d在某法里數列是鄰項，則當法里數列的階增加，它們間出現的第一項是

$\frac{a+c}{b+d}$ ，

而這項第一次出現在b+d階的法里數列中。

例如在¹⁄₃和²⁄₅間出現的第一項是³⁄₈，在 $F 8$ 出現。

Stern-Brocot樹是一個資料結構，顯出如何從0 (= ⁰⁄₁)和1 (= ¹⁄₁)開始，以取中間分數來構成法里數列。

法里數列中的鄰項分數，它們的連分數表示形式也密切相關。每個分數都有兩個連分數表示，一個的尾項為1，另一個則大於1。考慮^p⁄_q，它第一次於 $F q$ 出現。以連分數表示為

[0; a 1, a 2,..., a n - 1, a n,1]

，或

[0; a 1, a 2,..., a n - 1, a n + 1]

，

則^p⁄_q在 $F q$ 中最接近的鄰項（這是兩鄰項中分母較大的）表示為連分數是

[0; a 1, a 2,..., a n]

，

而另一鄰項則會表示為

[0; a 1, a 2,..., a n - 1]

。

例如³⁄₈有兩個連分數表示：[0;2,1,1,1]和[0;2,1,2]，而它在 $F 8$ 中的鄰項為²⁄₅，可寫成[0;2,1,1]；和¹⁄₃，可寫成[0;2,1]。

[编辑] 福特圓

法里數列和福特圓之間有個有趣關連。

對每個最簡分數^p⁄_q，有福特圓C[^p⁄_q]，以 $\frac{1}{2q^2}$ 為半徑，以 $\left(\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2}\right)$ 為圓心。兩個不同分數的福特圓一是分開，一是相切，但不會相交。若0 < ^p⁄_q < 1，則與相切的福特圓正好是在某一法里數列中與^p⁄_q為鄰項的分數。