上极限和下极限

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数学上，序列的上极限和下极限可以看为序列的极限上下界。

序列 $(x n)$ 的上极限定义是

$\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$ ；

或者

$\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)$ 。

同样的，序列 $x n$ 的下极限定义是

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}$ ；

或者

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)$ 。

这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当 $\liminf x_n$ 和 $\limsup x_n$ 都存在，那么

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n$ 。

上极限和下极限也记为 $\overline {\lim_{n\rightarrow\infty}} x_n$ 和 $\lim_\overline{n\rightarrow\infty} x_n$ 。

[编辑] 实数数列

实数集R的数列对微积分很重要。R不是完全格，但可以加入正负无穷以得到全序集 $[-\infty,+\infty]$ 。

那么在 $[-\infty,+\infty]$ 中数列 $(x n)$ 收敛当且仅当 $\liminf x_n = \limsup x_n$ ，而这时 $\lim x_n$ 等于上面的共同值。（注意当只是考虑R时，收敛至 $-\infty$ 或 $+\infty$ 并不当作收敛。）

作为例子，考虑数列 $x_n=\sin \!n$ 。应用π的无理数性质，可以证明 $\liminf x_n = -1$ 和 $\limsup x_n = +1$ 。

若 $I=\liminf x_n$ 和 $S=\limsup x_n$ ，那么区间 $[I, S]$ 不一定包含任何的 $x n$ ，但是轻微扩大了的[I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的x_n。区间[I, S]是适合这个性质的最小闭区间。

一个数论例子是

$\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)$ ，

其中 $\!{p_n}$ 是第 $\!n$ 个素数。下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想——但至今连它是否有限也没能证明。

[编辑] 集的序列

集合X的冪集P(X)是完全格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。

若 $X n$ 是这样的序列，那么X的元素a属于 $\liminf X_n$ 当且仅当存在自然数 $n 0$ 使得对于所有 $n > n 0$ ，a在 $X n$ 裡。元素a属于 $\limsup X_n$

当且仅当对所有自然数 $n 0$ ，都存在一个指数 $n > n 0$ 使得a在 $X n$ 裡。换句话说， $\limsup X_n$ 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合 $X n$ 裡；而 $\limsup X_n$ 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在 $X n$ 裡。