Nghịch lý về Grand Hotel của Hilbert

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

[sửa] Câu chuyện hữu hạn và vô hạn - Khách sạn Hilbert.

Một hôm có nhà doanh nghiệp tên Thông nằm mơ, được nhà toán học nổi tiếng người Đức tên là Hilbert mách bảo bí quyết kinh doanh bằng cách xây khách sạn để kiếm lời. Trong giấc mơ, nhà kinh doanh Thông nghe được bí kíp ấy thấy hay quá nên đã thuê người xây một khách sạn gồm các phòng đơn, được đánh số bởi 1,2,3,...., n,... Sau đó ông Thông, chủ khách sạn mạnh dạn tuyên bố rằng luôn luôn thoả mãn nhu cầu cho những ai cần chỗ ở.

Ngày nọ có một vị khách đường xa đến quầy tiếp tân để thuê phòng. Cô lễ tân nhìn vào sổ theo dõi thấy tất cả các phòng đều có người ở nên quay ra vị khách:

- Xin lỗi, ông cảm phiền đi nơi khác, khách sạn nay đã hết chỗ rồi.

- Các người làm ăn thế nào vậy? Ngoài bảng thì ghi rằng luôn đáp ứng đầy đủ chỗ ở cho ai có nhu cầu, giờ thì từ chối... Vị khách hét tướng lên.

Nghe tiếng ồn ào, vị chủ khách sạn chạy ra. Sau khi biết được câu chuyện, ông Thông quay qua nói với khách:

- Xin lỗi ông, do nhân viên chưa quen việc, sẽ có phòng ngay cho ông thôi mà.

Nói xong, ông Thông liền ra lệnh cho nhân viên lễ tân tức tốc đến các phòng, làm các động tác như sau: yêu cầu vị khách đang ở phòng số 1 chuyển ngay sang phòng số 2, khách phòng số 2 thì chuyển sang phòng thứ ba,... nói chung khách đang ở phòng số thứ n thì chuyển sang phòng số thứ n+1,... Sau mấy phút sắp đặt, ông Thông ân cần mời vị khách mới đến vào phòng số 1 và thế là mọi chuyện tạm ổn.

Tất nhiên dù bị đánh động và phải chuyển đồ đạc nhưng rồi mọi người ai cũng có chỗ ở. Vì do số phòng nhiều vô hạn nên người đang ở phòng số n thì chỉ việc chuyển sang phòng mới số n+1. Ông Thông đang đắc chí thì bỗng nhiên giật mình thức dậy.

Hoá ra ông Thông đang nằm mơ, vì chuyện xây dựng khách sạn vô hạn phòng chỉ là lý thuyết, không tưởng, thực tế làm chi có. Tuy nhiên, ông Thông do già dặn trong cuộc đời, thấy mọi chuyện đều tương đối, ngay cả cuộc sống con người là hữu hạn. Thời trẻ, ông đã từng thề thốt với nhiều cô gái rằng, "Anh yêu em vô hạn", "Anh nhớ em vô cùng,..." nhưng thật ra ông chỉ "thương yêu" các cô gái ấy trong một giai đoạn hữu hạn nào đó. Từ đấy, ông suy nghĩ và ngộ ra rằng vô hạn trong cuộc đời thật ra là hữu hạn nhưng ở một mức độ "đủ lớn" nào đó là được. Với suy nghĩ như vậy, ông khai thác ý niệm vô hạn và xây một khách sạn "vô hạn" phòng như sau:

Ông thuê người xây 1 khách sạn có 6.000 phòng (khách sạn với số phòng chừng này thì không phải hiếm, đặc biệt các khách sạn phục vụ cho World Cup). Xong rồi ông quảng cáo rùm beng. Cũng như trên, khi khách đã đầy nhóc mà vẫn còn có người đến, ông giao cho tay quản lý khách sạn làm như trong mơ nghĩa là lôi ông khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2,.... Do tác phong lề mề, mỗi lần chuyển người từ phòng này sang phòng kia mất 10 phút, tính ra đến phòng cuối cùng là mất hết thảy 60.000 phút tức là 1000 giờ = hơn 41 ngày. Trong vòng 41 ngày ấy thông thường thế nào cũng có khách hết tiền nên phải trả phòng lại. Nếu không hên lắm thì mãi đến phòng cuối, nhét người khách phòng số 6000 vào phòng đã trả ấy. (Đó là một mánh chiến lược kinh doanh mạo hiểm! Tuy giữ được lời hứa là thoả mãn chỗ ở cho mọi người nhưng vị khách nào đã ở một lần thì tởn đến già, lần sau chắc là không dám ghé lại vì sẽ bị chuyển chỗ không biết lúc nào.)

[sửa] Ý nghĩa toán học

Câu chuyện trên cho thấy đặc trưng của tập hợp vô hạn: Nếu thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập hợp vô hạn A thì lực lượng của A không thay đổi. Ngoài ra ta thấy rằng, trong thực tế không có cái gì là vô hạn cả theo ý nghĩa toán học. Chỉ cần số hữu hạn "đủ lớn" nào đó là có thể xem là vô hạn rồi. Vấn đề là xác định "đủ lớn" đó như thế nào.