Fuzzy Logic

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

I. SỐ MỜ (Fuzzy Number) 1. Số Mờ. Có nhiều định nghĩa khác nhau về số mờ, tuy nhiên một cách trực quan chúng ta có thể hiểu số mờ như là một biểu thức xấp xỉ một số thực nào đó. Ví dụ, “xấp xỉ 4” là giá trị của một biểu thức cho bởi một tập mờ A với một hàm thành viên mA(x) tương ứng mà nó đạt giá trị cực đại tại x=4. Dưới cái nhìn mở rộng một cách trực quan cho các số thực nên chúng ta có thể thừa nhận định nghĩa số mờ với một cực đại phân biệt của hàm thành viên. A là một số mờ thì A phải có 3 thuộc tính sau 1. A phải là một tập mờ (tập mờ sẽ được giới thiệu trong phần sau-phần 2) 2. A(α) phải là đóng " α Î(0,1] , 3. A, A(0+) phải được phân ranh rỏ ràng. Số Mờ có thể được định nghĩa một cách tổng quát như sau: Định nghĩa 1: Một số mờ là một tập mờ chuẩn lồi của đường thẳng thực R sao cho: i) Có một và chỉ một mÎR sao cho mA(m) =1, gọi là giá trị trung bình của A. ii) mA(x) là liên tục từng mảnh. Vì tập mờ A là lồi nên hàm thành viên mA(x) là một hàm tăng đơn điệu với x<m và giảm đơn điệu với x>m. Định nghĩa chính xác tính lồi của tập mờ trên đường thẳng thực là: Định nghĩa 2: Một tập mờ (thực) là lồi khi và chỉ khi: "x1, x2 ÎR, "l Î [0,1] mA (lx1 +(1-l)x2) ³ min (mA (x1), mA (x2)) Vì vậy, không tồn tại cực đại địa phương của hàm thành viên mà chỉ có duy nhất một cực đại phân biệt (distinct maximum) tại giá trị trung bình x=m và số mờ mF có thể được xem như là giá trị “mờ” của số thực m. Chú ý rằng mF không mô tả chỉ một số mờ duy nhất vì hàm thành viên có thể có nhiều hình dáng khác nhau. Hơn nữa, ngoài các số mờ thực, còn có nhiều kiểu khác của số mờ cũng có thể được định nghĩa (ví dụ như các số mờ nguyên) phụ thuộc vào tập nền trên đó tập mờ A tương ứng được xác định. Đối với các ứng dụng thực tế, thật là thuận lợi nếu chúng ta sử dụng các hàm thành viên được mô tả bởi chỉ một ít các tham số. Dubois và Prade [1] giới thiệu các số mờ với các hàm thành viên có cùng kiểu giống nhau ở cả hai bên điểm cực đại là số mờ L-R. Thông thường các m-hàm có kiểu dáng tam giác được sử dụng là vì chúng ta có thể tính toán một cách dễ dàng các giá trị của hàm thành viên, Kaufman và Guta [2] lần đầu tiên sử dụng các số mờ tam giác (triangular fuzzy number-TFNs) được mô tả bởi ba tham số: góc trái dưới 1, góc phải dưới r của tam giác và giá trị trung bình. Nhiều phép toán số học có thể được thực hiện dễ dàng trên các số mờ tam giác bằng các phép toán trên các tham số này. Bên cạnh đó, Irion [3] đã mở rộng biểu diễn các số mờ tam giác bằng cách thêm vào hai tham số. 1.1. Các mô tả số mờ (fuzzy number) dựa trên một ít các tham số. 1.1.1 Số mờ L-R (có một số tài liệu ký hiệu là [Z- ,Z+]) a) Định nghĩa: Số mờ L-R là một bộ gồm 2 số (l,r) có hàm thành viên mA(x) tương ứng là:

và có đồ thị biểu diễn như sau:

b) Các phép toán số học trên số mờ L-R Cho a=(la, ra) và b=(lb, rb) là các số mờ tam giác cân, gọi c=(lc, rc) là số mờ kết quả của một phép toán số học tác động lên a, hoặc a và b. Ta có bảng kết quả như sau:

Phép toán số học lc rc -a -ra -la 1/a 1/ra 1/la a+b la+ra ra+rb a-b=a+(-b) la-rb ra-lb Ab min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) ab min(lalb,rarb,ralb,larb) max(lalb,rarb,ralb,larb) Một số ví dụ về các phép toán trong số mờ:

Một thị minh hoạ các phép toán trên mờ

Phép cộng và phép trừ (trích từ tài liệu của Klir&Yuan)

Phép nhân và phép chia (trích từ tài liệu của Klir&Yuan) 1.1.2 Số mờ tam giác (Triangular fuzzy numbers) a) Định nghĩa: Số mờ tam giác là một bộ gồm 3 số (l,r,m) có hàm thành viên mA(x) tương ứng là:

và có đồ thị biểu diễn như sau:

b) Các phép toán số học trên số mờ tam giác Cho a=(la, ra, ma) và b=(lb, rb, mb) là các số mờ tam giác, gọi c=(lc, rc, mc) là số mờ kết quả của một phép toán số học tác động lên a, hoặc a và b. Ta có bảng kết quả như sau:

Phép toán số học lc rc Mc -a -ra -la -ma 1/a 1/ra 1/la 1/ma a+b la+ra ra+rb ma+mb a-b=a+(-b) la-rb ra-lb ma-mb ab min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) ma.mb ab min(lalb,rarb,ralb,larb) max(lalb,rarb,ralb,larb) mamb So sánh kết quả của các phép toán số học của hai kiểu số mờ L-R và số mờ tam giác trên các số mờ L-R: nhận xét rằng các số biểu diễn góc trái dưới và góc phải dưới là bằng nhau, nên ta chỉ còn so sánh hai giá trị trung bình (điểm cực đại) tương ứng của hai kết quả tính toán.

Phép toán số học Kết quả phép toán số học theo số mờ L-Ra=(la,ra)và b=(lb,rb) Kết quả phép toán số học theo số mờ tam giáca=(la,ra,ma)có cực đại ma=(la+ra)/2b=(lb,rb,mb)có cực đại mb=(lb+rb)/2 Kết quả so sánh giá trị trung bình -a (-ra,-la) (-ra,-la,-ma) bằng nhau 1/a (1/ra,1/la) (1/ra,1/la,1/ma) khác nhau a+b (la+ra,ra+rb) (la+ra,ra+rb,ma+mb) bằng nhau a-b (la-rb,ra-lb) (la-rb,ra-lb,ma-mb) bằng nhau l=min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) l=min(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) r=max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) r=max(la.lb,ra.rb,ra.lb,la.rb) M=ma.mb ab (l,r) (l,r,m) khác nhau l=min(lalb,rarb,ralb,larb) l=min(lalb,rarb,ralb,larb) r=max(lalb,rarb,ralb,larb) r=max(lalb,rarb,ralb,larb) m=mamb Tuy nhiên sự so sánh trên đây không hề có một ý nghĩa đầy đủ về sự mở rộng của số mờ, bởi vì sự mở rộng của các phép toán số học trên số mờ phải tuân theo nguyên tắc mở rộng của Zadeh [4]. Nghĩa là sự mở rộng của các phép toán số học trên số mờ tam giác được gọi là tốt hơn các phép toán số học đối với các số mờ L-R nếu kết quả của phép toán số học trên số mờ tam giác có độ xấp xỉ với kết quả của các phép toán tương ứng được định nghĩa bởi Zadeh là tốt hơn với độ xấp xỉ của kết quả của các phép toán số học trên số mờ L-R, với kết quả của phép toán được định nghĩa bởi Zadeh. Vì vậy, ở đây chỉ có thể nói rằng số mờ tam giác là một mô tả khác của số mờ, sự mô tả số mờ tam giác có tính tổng quát hơn sự mô tả số mờ L-R. Còn việc chứng minh sự mở rộng các phép toán số học trên số mờ tam giác là tốt hơn so với các phép toán số học trên số mờ L-R theo nguyên tắc mở rộng của Zadeh. Lý do là có thể trong một số trường hợp này tốt hơn và trong một số trường hợp khác là không tốt hơn. Để tìm các số cụ thể minh họa cho hai trường hợp trái ngược nhau này thì phải thực nghiệm tìm các kết quả cụ thể trên máy tính. 1.2. Các biểu diễn mở rộng của số mờ tam giác. 1.2.1. Số mờ tứ giác. a) Định nghĩa. Số mờ tứ giác là một bộ gồm 4 số (l,r,m,h) có hàm thành viên mA(x) tương ứng là:

và có đồ thị biểu diễn như sau:

b) Các phép toán số học trên số mờ tứ giác: Cho a=(la, ra, ma, ha) và b=(lb, rb, mb, hb) là các số mờ tứ giác, gọi c=(lc, rc, mc, hc) là số mờ kết quả của một phép toán số học tác động lên a, hoặc a và b. Ta có bảng kết quả như sau: Phép toán số học lc rc mc hc -a -ra -la -ma ha 1/a 1/ra 1/la 1/ma ha a+b la+ra ra+rb ma+mb min(ha,hb) a-b=a+(-b) la-rb ra-lb ma-mb min(ha,hb) ab min(la.lb,ra.rb,ra.lb, la.rb) max(la.lb,ra.rb,ra.lb, la.rb) ma.mb min(ha,hb) ab min(lalb, rarb, ralb, larb) max(lalb,rarb,ralb,larb) mamb min(ha,hb) Gọi F1 là tập các số mờ L-R, F2 là tập các số mờ tam giác, F3 là tập các số mờ tứ giác. Thì ta có: F1 Ì F2 Ì F3. 1.2.2. Biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác. a) Định nghĩa: Biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác là một bộ gồm 5 số (l,r,m,h,k) có hàm thành viên mA(x) tương ứng là:

và có đồ thị biểu diễn như sau:

b) Các phép toán số học trên biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác: Cho a=(la, ra, ma, ha, ka) và b=(lb, rb, mb, hb, kb) là các biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác, gọi c=(lc, rc, mc, hc, kc) là số mờ kết quả của một phép toán số học tác động lên a, hoặc a và b. Ta có bảng kết quả như sau:

Phép toán số học lc rc mc hc kc -a -ra -la -ma ha ka 1/a 1/ra 1/la 1/ma ha ka a+b la+ra ra+rb ma+mb min(ha,hb) min(ka,kb) a-b=a+(-b) la-rb ra-lb ma-mb min(ha,hb) min(ka,kb) ab min(la.lb,ra.rb,ra.lb, la.rb) max(la.lb,ra.rb, ra.lb, la.rb) ma.mb min(ha,hb) min(ka,kb) ab min(lalb,rarb, ralb, larb) max(lalb,rarb, ralb,larb) mamb min(ha,hb) min(ka,kb) Kết luận: Việc mô tả các số mờ vẫn còn tiếp tục với các kiểu dáng của hàm thành viên khác nhau như một cung đường cong bậc hai, đường cong bậc 3, các đường gẫy khúc... Nhưng việc mô tả các số mờ phải luôn luôn tuân theo nguyên tắc của định nghĩa số mờ tổng quát nói ở trên, nghĩa là đồ thị của hàm thành viên tương ứng của số mờ là một đường lồi, liên tục từng mảnh và chỉ có một cực đại phân biệt duy nhất mà thôi. Tuy nhiên để việc áp dụng các số mờ được hiệu quả hơn trong những ứng dụng, người ta đã mở rộng biểu diễn của số mờ. Còn việc lựa chọn biểu diễn số mờ nào trong một ứng dụng cụ thể là tuỳ vào việc tính giá trị của hàm thành viên có dễ dàng hay không, tuỳ vào hiệu quả xấp xỉ của tổ hợp các hàm số học mờ đó với các luật mờ, và còn tuỳ vào sở thích của người sử dụng. 2. Vấn đề mở rộng các phép toán số học đối với các số mờ. Vấn đề cơ bản đối với việc cho phép mở rộng các phép toán số học đối với các số mờ là việc mở rộng đó phải tuân theo nguyên tắc mở rộng của Zadeh [4]. Đối với các phép toán hai ngôi (binary operation) « thì hàm thành viên của số mờ kết quả c=a«b được xác định bởi phương trình sau:

Vì vậy một sự mở rộng các phép toán số học đối với các số mờ được gọi là tốt nếu kết quả của các phép toán số học mở rộng được định nghĩa trên các số mờ đó là xấp xỉ tốt với kết quả tương ứng với cùng một phép toán được cho bởi phương trình trên. Gọi F1 là tập các số mờ L-R, F2 là tập các số mờ tam giác, F3 là tập các số mờ tứ giác, F4 là biểu diễn mở rộng của số mờ tứ giác. Về mặt tập hợp, ta có: F1 Ì F2 Ì F3 Ì F4. Về mặt nguyên tắc mở rộng các phép toán số học, chưa có thông tin về vấn đề so sánh việc mở rộng các phép toán số học trên các số mờ F1, F2, F3 và F4 theo nguyên tắc mở rộng của Zadeh. Mà chỉ có một ví dụ cho tích của hai số mờ cụ thể [3] và tác giả bài báo cho rằng biểu diễn này xấp xỉ tốt theo nguyên tắc mở rộng của Zadel mà thôi. 3. Tập mờ (fuzzy set) Lời dẫn: Ta đã biết các tập hợp cơ bản mà đã học qua : ta có thể khẳng định một phần tử sẽ thuộc hay không thuộc một tập nào đó. Thí dụ như trong tập hợp số nguyên, một số nguyên có thể là số chẵn hoặc không chẵn (chính là số lẻ). Một thí dụ khác về đồ họa, trong một tấm ảnh đen trắng thì một điểm (pixel) nào đó ta không thể kết luận là nó trắng hay đen. Chỉ khi ta số hóa ảnh trắng đen này, ta xây dựng lớp xám (gray scales) để mô tả 256 trạng thái từ trắng → đen. Việc xây dựng lớp xám 256 trạng thái như vậy là đủ hay thiếu, tương lai sẽ thay đổi hay không??? Đây có thể xem như là trạng thái mờ!!!.... Tập hợp thông thường mà chúng ta đã học nó mô tả bằng cách liệt kê, công thức tổng quát, hàm số … Thí dụ -Liệt kê A = {Táo, cam bưởi, soài,nho} B = {b1,b2,b3} C = {2, 4, 6, 8, …} -Công thức A = {x | x là số tự nhiên lẻ} Hay là A = {x | x = 2k, k là số tự nhiên} Như vậy ta có thể hiểu tập mờ (Fuzzy sets) như sau: – sự thay đổi dần dần từ trạng thái này sang trạng thái khác của một giá trị đưa vào chẳng hạng như 256 trạng thái từ trắng sang đen. Một tập mờ có một bảng mô tả đồ hoạ (graphical description) để mô tả cách chuyển dổi trạng thái như thế nào từ nơi này đến nơi khác, bảng mô tả đồ hoạ này gọi là hàm liên thuộc-hàm thành viên (membership function). Sau đây là định nghĩa tập mờ. a.Định nghĩa: A là tập mờ trên không gian nền X nếu A được xác định bởi hàm: mA: Xà[0,1] Trong đó: mA là hàm liên thuộc-hàm thành viên (membership function) mA(x) là độ liên thuộc của x vào tập mờ A. (có thể cho thêm vd về hàm thành viên trong file lecture2-Ooperations.ppt trong slide 6-12)

b. Các phép toán trên tập mờ Định nghĩa: Cho A và B là hai tập mờ trên không gian nền X, có các hàm liên thuộc mA, mB. Khi đó ta có các phép toán sau: STT Phép toán trân tập mờ Định nghĩa hàm liên thuộc 1 AÍB mA(x)≤mB(x) 2 AÈB mAÈB(x)=max{mA(x),mB(x)} 3 AÇB mAÇB(x)=min{mA(x),mB(x)} 4 ØA ØmA=1-mA 5 AÅB mAÅB=mA(x)+mB(x)-mA(x)mB(x) 6 X mX(x)=1 7 f fm(x)=0 8 AxB mAxB(x,y)=min{mA(x),mB(y)}

Một số đồ thị minh họa về các phép toán trên tập mờ

Phép hội và phép giao (trích từ tài liệu của Klir&Yuan)

phép giao nhau (được trích từ tài liệu của Klir&Yuan)

Phép hội và phép bù (trích từ tài liệu của Klir&Yuan)

4. Phương trình mờ (fuzzy equation). Chúng ta thấy rằng, việc mở rộng số mờ một cách trực quan từ các số thực, xem số mờ như là số “mờ” của một số thực, là hoàn toàn không theo phong cách mở rộng truyền thống của đại số học như việc mở rộng nhóm, vành, trường. Do đó các kết quả của đại số như thuật toán giải phương trình đa thức trên trường số thực, số phức là không thể áp dụng được trên các số mờ. Vì vậy có hai hướng giải quyết, một là tìm một cách tiếp cận khác để giải phương trình mờ hoặc xây dựng lại cách mở rộng số thực đến số mờ theo phong cách đại số và sau đó tìm cách áp dụng các kết quả đã có của đại số. Trước hết ta có nhận xét rằng trong một đẳng thức của các số thực như a+b=c, việc chuyển số thực b từ vế trái sang vế phải có nghĩa là ta cộng hai vế cho phần tử đối của b là –b (đối với phép cộng) như sau: a+b+(-b)=c+(-b) Và b+(-b) cho phần tử trung tính 0 đối với cộng. Khi đó ta có: a+0=c+(-b) ð a=c+(-b) Viết đơn giản lại là: a=b-c Nói cách khác, muốn thực hiện việc chuyển số thực b từ vế trái sang vế phải của phương trình trên thì ta phải có phần tử đối của b và phần tử trung tính 0 của phép cộng. Các phần tử này là không có trong số mờ, vì không hề có khái niệm phần tử đối hay phần tử trung tính đối với phép cộng của số mờ. Lý do cũng dễ hiểu là các phép toán số học trên các số mờ được định nghĩa một cách trực quan theo nguyên tắc mở rộng của Zadeh. Cho hai số mờ L-R là a=[la, ra] và b=[lb, rb], xét phương trình mờ sau với x=[lx, rx] là số mờ cần tìm. a+x=b Ta có thể thực hiện phép cộng ở vế trái rồi đồng nhất hai vế để suy ra x=[lx, rx] như sau: [la, ra]+[lx, rx] = [lb, rb] ð [la+lx, ra+rx] = [lb, rb] ð la+lx=lb và ra+rx=rb ð lx=lb-la và rx=rb-ra Để ý cách giải này không hề chuyển một số mờ từ vế trái sang vế phải hoặc ngược lại, điều này tương tự như giải phương trình logic. Theo nhận xét đó, ta có một phương pháp tổng quát để giải phương trình mờ như sau: B1. Thực hiện tất cả các phép toán ở vế trái để cho ra một số mờ a=[la, ra]. Thực hiện tất cả các phép toán ở vế phải để cho ra một số mờ b=[lb, rb]. B2. Đồng nhất của hai vế cho ta một hệ phương trình đại số có hai phương trình: la=lb và ra=rb Giải hai phương trình này ta được kết quả cần tìm. Tuy nhiên, trong phương trình mờ a+x=b, nếu bắt buộc phải chuyển một số mờ a từ vế trái sang vế phải thì ta phải hiểu rằng: nếu bỏ đi số mờ a=[la, ra] ở vế trái thì ta phải thêm vào vế phải một đại lượng mới ký hiệu là a’=[-la, -ra] và tạm gọi đại lượng này là số mờ ”ảo”, vì –la>-ra nên a’ thực sự không là một số mờ. Khi đó ta có cách giải phương trình như sau: a+x=b ð x=b+a’ ð [lx,rx]=[lb,rb]+[-la,-ra] ð [lx, rx]=[lb-la, rb-ra] ð lx=lb-la và rx=rb-ra Nhưng điều này lại không thực hiện được dễ dàng đối với phép nhân vì có quá nhiều trường hợp xảy ra. Một cách tổng quát nếu a=[la, ra] và b=[lb, rb] thì: a.b=[min(la.lb, ra.rb, ra.lb, la.rb), max(la.lb, ra.rb, ra.lb, la.rb)] Xét các trường hợp các số mờ a và b dương hay âm nghiêm ngặt thì ta đã có 4 trường hợp xảy ra. Gọi c=a.b, ta có: Điều kiện lc rc a>0, b>0 la.lb ra.rb a<0, b<0 ra.rb la,lb a>0, b<0 ra.lb la.rb a<0, b>0 la.rb ra.lb Xét từng trường hợp riêng rẽ, bằng cách giới hạn âm dương nghiêm ngặt cho các hệ số và ẩn sao cho đủ để thực hiện các phép toán nhân thì có thể giải phương trình mờ dễ dàng như sau: v Phương trình mờ bậc 1: ax+b=0 (a>0) 1. Tìm nghiệm x>0 Ta có: [la,ra]*[lx,rx]+[lb,rb]=0 ð [la*lx, ra*rx]+[lb, rb]=0 ð [la*lx+lb,ra*rx+rb]=0 ð la*lx+lb=0 và ra*rx+rb=0 ð lx=-lb/la và rx=-rb/ra Vì x>0 nên lx>0 và rx>0 ð -lb/la>0 và –rb/ra>0 ð lb<0 và rb<0 ð b<0 Để phương trình có nghiệm là số mờ ta phải có: lx<rx ð -lb/la<–rb/ra ð rb/ra<lb/la Kết luận: Phương trình Mờ bậc 1: ax+b=0 (a>0) với b<0 và rb/ra<lb/la thì có nghiệm dương: x=[-lb/la.-rb/ra] 2. Tìm nghiệm x<0 Ta có: [la,ra]*[lx,rx]+[lb,rb]=0 ð [ra*lx, la*rx]+[lb, rb]=0 ð [ra*lx+lb,la*rx+rb]=0 ð ra*lx+lb=0 và la*rx+rb=0 ð lx=-lb/ra và rx=-rb/la Vì x<0 nên Lx<0 và rx<0 ð -lb/ra>0 và –rb/la>0 ð lb>0 và rb>0 ð b>0 Để phương trình có nghiệm là số mờ ta phải có: lx<rx ð -lb/ra<–rb/la ð rb/la<lb/ra Kết luận: Phương trình Mờ bậc 1: ax+b=0 (a>0) với b>0 và rb/la<lb/ra thì có nghiệm âm: x=[-lb/ra.-rb/la] v Phương trình mờ bậc 2: ax2+bx+c=0 (a>0,b>0) 1. Tìm nghiệm x>0 Ta có: [la,ra]*[lx,rx]*[lx,rx]+[lb,rb]*[lx,rx]+[lc,rc]=0 ð [la*lx*lx+lb*lx+lc,ra*rx*rx*rb*rx+rc]=0 ð la*lx*lx+lb*lx+lc=0 và ra*rx*rx+rb*rx+rc=0 Đặt: Dl=lb*lb-4*la*lc Và Dr=rb*rb-4*ra*rc Để hai phương trình: la*lx*lx+lb*lx+lc=0 và ra*rx*rx+rb*rx+rc=0 có nghiệm thì ta phải có: Dl>=0 và Dr>=0 Khi đó: lx=(-lb+ÖDl)/2*la,lx=(-lb-ÖDl)/2*la và rx=(-rb+ÖDr)/2*ra,rx=(-rb-ÖDr)/2*ra Vì x>0 nên loại bỏ nghiệm âm, ta còn lại nghiệm: lx=(-lb+ÖDl)/2*la và rx=(-rb+ÖDr)/2*ra Thử lại điều kiện x>0 cho nghiệm này, ta có: lx>0 ð (-lb+ÖDl)/2*la >0 ð -lb+ÖDl>0 ð lb<ÖDl ð lb*lb<Dl ð lb*lb<lb*lb-4*la*lc ð 4*la*lc<0 ð lc<0 Tương tự ta cũng có rc<0 Suy ra c<0 Ngược lại, từ c<0 ta cũng suy ra được Dl>0 và Dr>0 Để phương trình có nghiệm là số mờ ta phải có: lx<rx ð (-lb+ÖDl)/2*la < (-rb+ÖDr)/2*ra ð ra*(-lb+ÖDl) < la*(-rb+ÖDr) Kết luận: Phương trình mờ bậc 2: ax2+bx+c=0 (a>0, b>0) với c<0 và ra*(-lb+ÖDl) < la*(-rb+ÖDr) thì có nghiệm dương x=[(-lb+ÖDl)/2*la, (-rb+ÖDr)/2*ra] Tương tự cho các trường hợp còn lại. Trong trường hợp tổng quát, việc thực hiện nhiều lần các phép toán nhân trên các số mờ tổng quát sẽ làm cho số lượng các trường hợp có thể xảy ra bùng nổ theo cấp luỹ thừa, một điều mà về mặt lý thuyết rất khó theo dõi và kiểm tra. Theo đó việc tìm một công thức để tính trực tiếp nghiệm cuối cùng của phương trình mờ là không xác định duy nhất được vì có rất nhiều trường hợp xảy ra. Tuy nhiên chúng ta để ý rằng phép toán nhân các số mờ lại là một phép toán đơn vị, có nghĩa là tích của hai số mờ có kết quả là một số mờ duy nhất. Vì vậy các nhà nghiên cứu cố gắng tìm một phương pháp khác để tiếp cận với các bài toán phương trình mờ, bất phương trình mờ, quy hoạch mờ tổng quát. Ví dụ một trong những cách đó là xây dựng một dãy số mờ liên tiếp (fuzzy chaos) càng lúc càng gần với số mờ cần tìm [5]. Điều này lại gợi ý cho chúng ta có thể sử dụng các giải thuật tính toán tiến hoá (evolutionary computation) như giải thuật di truyền (genetic algorithm), giải thuật tự gen (selfish gene algorthm), giải thuật sinh sản vô tính (cloning algorithm) hoặc các giải thuật tính toán sinh học phân tử (biomolecular computation, ADN computation) để đi tìm các nghiệm đúng hay gần đúng cho các bài toán liên quan đến số mờ. Tuy nhiên các giải thuật này chỉ có tính thực nghiệm, còn việc chứng minh một bài toán số học mờ có lời giải hay không và tìm một lời giải tổng quát là công việc của toán học, nghĩa là phải dùng các phương pháp toán học lý thuyết.