Định lí Ceva

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Định lí Ceva là một định lí rất phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB, định lí được phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui nếu và chỉ nếu (khi và chỉ khi):

Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng qui nếu và chỉ nếu
.

Định lí được chứng minh lần đầu tiên bởi Giovanni Ceva trong tác phẩm viết năm 1678 của ông ta: De lineis rectis.

Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh tam giác với một điểm nằm ở phía đối diện.

[sửa] Chứng minh định lí

Giả sử AD, BE và CF đồng qui tại một điểm O nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do và có chung chiều cao (độ dài của đường cao, ta có

Tương tự,

Ta suy ra

Tương tự,

và

Nhân ba đẳng thức trên cho ta:

(điều phải chứng minh).

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm D, E và F thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của AD và BE là O, và gọi giao điểm của CO và AB là F'. Theo chứng minh trên,

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng AF'' + F''B = AF + FB = AB, ta có

Do đó F''B = FB, vậy F và F'' trùng nhau . Vì vậy AD, BE và CF=CF'' đồng qui tại O, và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

[sửa] Tham khảo thêm

• Định lí Menelaus

[sửa] Liên kết ngoài

• en:Ceva's theorem- Wikipedia tiếng Anh