Дроби

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Дроби це один із способів представлення раціональних чисел у формі $a \over b$ , де a,b — цілі числа. a називається чисельником, а b — знаменником дробу. Дріб спрощений, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1. Також використовують форму a:b. Дана стаття є спрощеним поясненням операцій над раціональними числами, для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться раціональне число. Знаменник дробу не може дорівнювати нулеві.

Зміст

1 Операції над дробами
2 Пропорції
- 2.1 Похідні пропорції
- 2.2 Часткові випадки
3 Джерела

[ред.] Операції над дробами

[ред.] 1. Додавання

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків. Таким чином, щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого, таким чином ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

${{ a \over b } + { c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {c b} \over {d b} }} = {{a d + c b} \over {b d}}$

[ред.] 2. Віднімання

По аналогії із додаванням дробів, визначається їх різниця:

${{ a \over b } - { c \over d }} = {{ a \over b } + { -c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {-c b} \over {b d} }} = {{a d - c b} \over {b d}}$

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

[ред.] 3. Множення

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників доданків-множників:

${{ a \over b } * { c \over d }} = {{ a c } \over { b d }}$

[ред.] 4. Ділення

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

${{ a \over b } : { c \over d }} = {{ a \over b } \over { c \over d }} = {{ a d } \over { b c }}$

[ред.] Пропорції

Пропорції використовують дроби для представлення відношень, тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

${ a \over b } = { c \over d }$

[ред.] Похідні пропорції

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

${{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m c + n d} \over {p c + q d}}$

де

$p a + q b \ne 0$ $p c + q d \ne 0$

Вивід:

Із ${ a \over b } = { c \over d }$ слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

${ a } = { {c b} \over d }$

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

${{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m {{c b} \over d } + n b} \over {p {{c b} \over d } + q b}} = {{{{m c b} \over d } + n b} \over {{{p c b} \over d } + q b}} = {{{m c b + n b d} \over d } \over {{p c b + q d b} \over d }} = {{{b(m c + n b)} \over d } * { d \over {b(p c + q d)} }} = {{m c + n d} \over {p c + q d}}$