Evrensel cebir

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim A ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir Σ = { + , * }.

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

0 + x = x

x + y = y + x

(x + y) + z = x + (y + z)

x * 1 = x

x * y = y * x

(x * y) * z = x * (y * z)

Yukardaki imza Σ bir cebir doğasal sayılardır . Burada + ^N bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki E adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy"). Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.

E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.B = ({a,b}, + ^B, * ^B,0^B,1^B)

Bunun bir model olduğunu (yani ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

• Bir eşitlikler birimini E nin modeli var mıdır?
• E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
• E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?

Mesela x = 1 * x eşitliği, yukardaki Enin bir neticesidir. yazarak bunu ifade ederiz.

birimine "E'nin teorisi" denilir.

[değiştir] Kaynaklar

Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

[değiştir] Linkler

• A Course in Universal Algebra Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar tarafından hazırlanan açık bir evrensel cebir ders kitabıdır.