Dualrum
Wikipedia
Inom linjär algebra, är dualrummet till ett vektorrum V över en kropp k det vektorrum som består av funktionalerna på V, dvs linjära funktioner från V till k.
Duala rum uppkommer naturligt i många delar av matematiken. Till exempel är utgör differentialerna i en punkt det duala rummet till tangentvektorerna. Duala rum är vidare centrala inom funktionalanalys.
[redigera] Egenskaper
Det duala rummet till V betecknas ofta med V*. För ett vektorrum av ändlig dimension n kommer det duala rummet att ha samma dimension. Detta kan visas genom att välja en bas x1,...xn för V och visa att den duala basen bestående av funktionalerna 
som definieras genom 
är en bas för dualrummet.
Därmed är varje ändligdimensionellt vektorrum isomorft med sin dual. Isomorfin beror emellertid på valet av en bas. För alla vektorrum finns en kanonisk linjär avbildning f från V till V** som definieras av relationen f(v)(w)=w(v). Denna avbildning är alltid injektiv, och är en isomorfi omm vektorrummet är ändligtdimensionellt.
[redigera] Dualrum till topologiska vektorrum
Om vektorrummet V har en topologisk struktur, till exempel om V är ett hilbertrum, är man vanligen intresserad av de funktionaler som respekterar denna struktur, dvs. de kontinuerliga funktionalerna. I detta fall definierar man dualrummet som rummet av kontinuerliga funktionaler. Med detta dualbegrepp kan bidualen V** även för ett oändligdimensionellt vektorrum vara en isomorfi. I detta fall kallas vektorrummet för reflexivt.
