Weryfikacja hipotez statystycznych

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Weryfikacją hipotez nazywamy sprawdzanie sądów o populacji, sformułowanych bez zbadania jej całości. Przebieg procedury weryfikacyjnej wygląda następująco:

1. Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej

Hipoteza zerowa (H₀) - Jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero. Przykładowo wnioskując o parametrach hipotezę zerową zapiszemy jako: H₀: θ₁ = θ₂ .

Hipoteza alternatywna (H₁) - hipoteza przeciwstawna do weryfikowanej. Możemy ją zapisać na trzy sposoby w zależności od sformułowania badanego problemu:

H₁: θ₁ ≠ θ₂
H₁: θ₁ > θ₂
H₁: θ₁ < θ₂

2. Wybór statystyki testowej

Budujemy pewną statystykę W, która jest funkcją wyników z próby losowej W = f(x₁, x₂, ..., x_n) i wyznaczamy jej rozkład przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Funkcję W nazywa się statystyką testową lub funkcją testową.

3. Określenie poziomu istotności α

Na tym etapie procedury weryfikacyjnej przyjmujemy prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej wtedy, gdy jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo to jest oznaczane symbolem α i nazywane poziomem istotności. Na ogół przyjmujemy prawdopodobieństwo bliskie zeru, ponieważ chcemy aby ryzyko popełnienia błędu było jak najmniejsze. Najczęściej zakładamy, że poziom istotności α≤ 0.1 (np. α=0.01 ; α=0.05 ; α=0.1)

4. Wyznaczenie obszaru krytycznego testu

Obszar krytyczny - obszar znajdujący się zawsze na krańcach rozkładu. Jeżeli obliczona przez nas wartość statystyki testowej znajdzie się w tym obszarze to weryfikowaną przez nas hipotezę H₀ odrzucamy. Wielkość obszaru krytycznego wyznacza dowolnie mały poziom istotności α, natomiast jego położenie określane jest przez hipotezę alternatywną.

Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu statystyki odzielony jest przez tzw. wartości krytyczne testu (w_α), czyli wartości odczytane z rozkładu statystyki przy danym α, tak aby spełniona była relacja zależna od sposobu sformułowania H₁:

P{|w|≥w_α} = α gdy H₁: θ₁ ≠ θ₂ (obszar dwustronny)
P{w ≥w_α} = α gdy H₁: θ₁ > θ₂ (obszar prawostronny)
P{w ≤w_α} = α gdy H₁: θ₁ < θ₂ (obszar lewostronny)

5. Obliczenie statystyki na podstawie próby

Wyniki próby opracowujemy w odpowiedni sposób, zgodnie z procedurą wybranego testu i są one podstawą do obliczenia statystyki testowej. Większość statystyk testowych, mających dokładny rozkład normalny, t-Studenta lub graniczny rozkład normalny, obliczamy w następujący sposób:

$W=\frac{a-b}{c}$

gdzie:

W - Statystyka testowa
a - Statystyka obliczona z próby
b - Hipotetyczna wartość parametru(ów)
c - Odchylenie standardowe rozkładu statystyki

6. Podjęcie decyzji

Wyznaczoną na podstawie próby wartość statystyki porównujemy z wartością krytyczną testu.

Jeżeli wartość ta znajdzie się w obszarze krytycznym to hipotezę zerową należy odrzucić jako nieprawdziwą. Stąd wniosek, że prawdziwa jest hipoteza alternatywna.
Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, oznacza to, że brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Stąd wniosek, że hipoteza zerowa może, ale nie musi, być prawdziwa.

Reguły postępowania przy weryfikacji hipotez są określane mianem testów statystycznych.