Moment bezwładności

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Im większy moment tym trudniej rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość obrotową.

$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$

gdzie:

m - masa fragmentów ciała oddalonych od osi obrotu o długość r
r - odległość fragmentów ciała od jego osi obrotu

czynnik $\sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$ jest sumą iloczynów mas cząstek przez kwadraty ich odległości od osi obrotu. Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od sposobu rozmieszczenia masy ciała. Moment bezwładności ma wymiar $M L 2$ . Zwykle mierzy się go w $k g m 2$ .Posługując się pojęciem momentu bezwładności można wyrazić energię kinetyczną obracającego się ciała sztywnego w postaci

$K=\frac{1}{2}I\omega^2$

Dla ciała sztywnego, które nie składa się z oddzielonych mas punktowych, lecz ma ciągły rozkład masy, wyrażenie określające moment bezwładności jest bardziej złożone. Proces sumowania we wzorze $I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$ należy zastąpić procesem całkowania. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o równych masach dm , oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności otrzymać można z wyrażenia $I = \int r^2dm$ gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Spis treści

1 Przykład
2 Moment bezwładności figur płaskich
- 2.1 Moment bezwładności prostokąta
- 2.2 Twierdzenie Steinera do figur płaskich
3 Linki zewnętrzne

[edytuj] Przykład

Rura cylindryczna o zewnętrznym promieniu R₂ i wewnętrznym R₁, obracająca się dookoła swej osi.

Najbardziej wygodnym, nieskończenie małym elementem masy będzie powłoka cylindryczna o promieniu r, grubości dr i długości L. Jeżeli gęstość materiału, czyli ilość masy na jednostkę objętości oznaczymy przez $σ$ (i gęstość ta jest jednakowa dla całej bryły), to $d m = σ d V$ gdzie dV jest objętością cylindrycznej powłoki o masie dm. $d V = (2π r d r) L$

stąd:

$d m = 2π L σ r d r$ Wtedy moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

$I=\int r^2dm=2\pi L\int^{R_{2}}_{R_{1}}\sigma r^3dr = 2\pi L \sigma \frac{R^{4}_{2}-R^{4}_{1}}{4}=\sigma \pi (R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L\frac{R^{2}_{2}+R^{2}_{1}}{2}$

Całkowita masa cylindra M równa się iloczynowi gęstości przez objętość V:

$V=\pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L$

czyli:

$M=\sigma \pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1}) L$

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie M, wewnętrznym promieniu $R 1$ oraz zewnętrznym $R 2$ wynosi zatem:

$I=\frac{1}{2}M(R^{2}_{2}+R^{2}_{1})$

względem osi cylindra. Jeżeli promień wewnętrzny znika czyli $R 1 = 0$ to mamy walec pełny, zatem:

$I=\frac{1}{2}MR^{2}$

gdzie R jest promieniem pełnego walca o masie M.

[edytuj] Moment bezwładności figur płaskich

Definicja:

I_x =	∫	y²dA
	A

I_y =	∫	x²dA
	A

I_x - moment bezwładności względem osi x
dA - element powierzchni
y - odległość dA od osi x

Momenty bezwładności figury płaskiej to parametry zależne od wielkości i geometrii figury.

Biegunowy moment bezwładności przekroju (tylko kołowego lub pierścieniowego) belki jest parametrem przekroju opisującym wytrzymałość na skręcanie. Gdy przemnożymy biegunowy moment przekroju razy moduł Kirchhoffa to otrzymamy sztywność na skręcanie belki. Patrz: Skręcanie (wytrzymałość materiałów) (dla przekrojów kołowych $I S = I O$ ).

Moment bezwładności przekroju po angielsku jest zwany Second moment of area.

Moment bezwładności figury płaskiej ma wymiar długość^4 (w SI m^4).

Biegunowy moment bezwładności to moment bezwładności względem punktu będącego środkiem ciężkości. Definicja: $I_{O}= \int {\rho}^2 dA = I_{x_C} + I_{y_C}$

[edytuj] Moment bezwładności prostokąta

$I_{x_C}=\frac{bh^3}{12}$ , $I_{y_C}=\frac{hb^3}{12}$

$I_{x_C} , I_{y_C}$ osiowe moment bezwładności względem osi symetrii prostokąta, osie te przechodzą przez środek ciężkości figury (względem innych osi momenty będą inne!).
b = szerokość (na osi x)
h = wysokość (na osi y)