Ebooks, Audobooks and Classical Music from Liber Liber
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Web - Amazon

website statistics

We provide Linux to the World

We support WINRAR [What is this] - [Download .exe file(s) for Windows]

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
SITEMAP

Audiobooks by Valerio Di Stefano: Single Download - Complete Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Alphabetical Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Download Instructions

Make a donation: IBAN: IT36M0708677020000000008016 - BIC/SWIFT: ICRAITRRU60 - VALERIO DI STEFANO or
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Granica dolna i górna - Wikipedia, wolna encyklopedia

Granica dolna i górna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Granica dolna ciągu (łac. limes inferior) $a n$ zapisywana $\liminf_{n\rightarrow\infty}{a_n}$ jest kresem dolnym granic wszystkich podciągów ciągu $a n$ .

Natomiast granica górna (łac. limes superior) ciągu $a n$ zapisywana $\limsup_{n\rightarrow\infty}{a_n}$ jest kresem górnym granic wszystkich podciągów ciągu $a n$ .

Definicje te są równoważne poniższym, prostszym:

$\liminf_{n\rightarrow\infty}{a_n} = \lim_{n\rightarrow\infty}(\inf\{a_k:k\ge n\})$

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{a_n} = \lim_{n\rightarrow\infty}(\sup\{a_k:k\ge n\})$

Jeżeli ciąg posiada granicę dolną i górną i są one sobie równe, to posiada także granicę zwykłą równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeżeli ciąg ma granicę, to ma on także granicę górną i granicę dolną i są one sobie równe.

[edytuj] Przykłady

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}{n}=\infty$

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{-n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}{-n}=-\infty$

Oczywiście istnieją ciągi, dla których granica dolna jest różna od granicy górnej; są one rozbieżne:

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{{(-1)^n}(1-{{1}\over{n}})}=1$ ale $\liminf_{n\rightarrow\infty}{{(-1)^n}(1-{{1}\over{n}})}=-1$

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{\sin{{{\Pi}\over{100}}n}}=1$ ale $\liminf_{n\rightarrow\infty}{\sin{{{\Pi}\over{100}}n}}=-1$

[edytuj] Nierówności

$\forall_{a_n, b_n}$

$\limsup_{n\rightarrow\infty}{a_n} + \limsup_{n\rightarrow\infty}{b_n} \ge$

$\ge \limsup_{n\rightarrow\infty}{(a_n + b_n)} \ge$

$\ge \limsup_{n\rightarrow\infty}{a_n} + \liminf_{n\rightarrow\infty}{b_n} \ge$

$\ge \liminf_{n\rightarrow\infty}{(a_n + b_n)} \ge$

$\ge \liminf_{n\rightarrow\infty}{a_n} + \liminf_{n\rightarrow\infty}{b_n}$

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../g/r/a/Granica_dolna_i_g%C3%B3rna.html"

Kategoria: Granice

Views

techniczne

zmiany

Szukaj

Our "Network":

Project Gutenberg
https://gutenberg.classicistranieri.com

Encyclopaedia Britannica 1911
https://encyclopaediabritannica.classicistranieri.com

Librivox Audiobooks
https://librivox.classicistranieri.com

Linux Distributions
https://old.classicistranieri.com

Magnatune (MP3 Music)
https://magnatune.classicistranieri.com

Static Wikipedia (June 2008)
https://wikipedia.classicistranieri.com

Static Wikipedia (March 2008)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com/mar2008/

Static Wikipedia (2007)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com

Static Wikipedia (2006)
https://wikipedia2006.classicistranieri.com

Liber Liber
https://liberliber.classicistranieri.com

ZIM Files for Kiwix
https://zim.classicistranieri.com

Other Websites:

Bach - Goldberg Variations
https://www.goldbergvariations.org

Lazarillo de Tormes
https://www.lazarillodetormes.org

Madame Bovary
https://www.madamebovary.org

Il Fu Mattia Pascal
https://www.mattiapascal.it

The Voice in the Desert
https://www.thevoiceinthedesert.org

Confessione d'un amore fascista
https://www.amorefascista.it

Malinverno
https://www.malinverno.org

Debito formativo
https://www.debitoformativo.it

Adina Spire
https://www.adinaspire.com