Graf hamiltonowski
Z Wikipedii
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.
 |
|
Najważniejsze pojęcia Wybrane klasy grafów Algorytmy grafowe Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe Inne zagadnienia |
| edytuj ten szablon |
Graf hamiltonowski to graf rozważany w teorii grafów zawierający ścieżkę (drogę) przechodzącą przez każdy wierzchołek dokładnie jeden raz zwaną scieżką Hamiltona. W szczególności grafem hamiltonowskim jest graf zawierający cykl Hamiltona, tj. zamkniętą ścieżkę Hamiltona. W niektórych źródłach graf zawierający tylko ścieżkę Hamiltona nazywany jest grafem półhamiltonowskim.
Aby lepiej zrozumieć właściwości grafu hamiltonowskiego można się posłużyć przykładem komiwojażera, który chce odwiedzić wszystkich swoich klientów, ale tylko raz. Klienci, to wierzchołki grafu, a drogi między nimi są jego krawędziami. Jeżeli graf jest hamiltonowski, to znaczy, że komiwojażer może obejść wszystkich klientów, bez mijania drugi raz żadnego z nich i wrócić do punktu wyjścia.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady grafów Hamiltonowskich
Grafem hamiltonowskim w szczególności jest każdy graf:
- pełny, posiadający przynajmniej 3 wierzchołki
- opisujący wielościan foremny
- będący nadgrafem grafu hamiltonowskiego
[edytuj] Złożoność czasowa
Nie są znane algorytmy umożliwiające jednoznaczne rozwiązanie problemu znajdowania najkrótszej możliwej ścieżki Hamiltona w czasie wielomianowym i działające dla wszystkich możliwych grafów (problem ścieżki Hamiltona jest NP zupełny). W praktyce najczęściej stosowane są algorytmy genetyczne, często wykorzystywane w połączeniu z heurystycznymi (np. heurystyka najbliższego sąsiada). Są to jednak metody dające w większości jedynie rozwiązania bliskie optymalnemu. Znalezienie najlepszego, możliwego rozwiązania, zależy głównie od ilości punktów oraz czasem szczęścia na skutek generacji populacji początkowej, krzyżowania oraz mutacji w algorytmach genetycznych.
Problem złożoności czasowej znajdowania rozwiązania problemu grafu Hamiltonowskiego wiąże się z brakiem twierdzenia takiego jak twierdzenie Eulera dla grafów Eulera. Owo twierdzenie pozwala w czasie liniowym (tj. zależnym liniowo od, w tym przypadku, liczby wierzchołków) znaleźć odpowiedź na pytanie, czy graf jest eulerowski. W przypadku grafów Hamiltona twierdzenie takie prawdopodobnie nie istnieje.
Znalezienie algorytmu znajdowania drogi Hamiltona w czasie wielomianowym jest "Świętym Graalem" informatyki, i chociaż powstały już setki publikacji opisujących rzekomo taki właśnie algorytm, problem jest nadal otwarty. Według znakomitej części specjalistów taki algorytm nie istnieje ("gdyż, zgodnie z rachunkiem prawdopodobieństwa, ktoś już by taki algorytm znalazł"), jednak do czasu udowodnienia, że takowy algorytm nie istnieje, lub udowodnienia, że taki dowód nie może zostać przeprowadzony należy wstrzymać się z kategorycznymi osądami.
[edytuj] Oznaczenia
Niech 
oznacza graf, 
zbiór jego wierzchołków, 
zbiór krawędzi, | A | moc zbioru, 
pojedynczy (w tym przypadku i-ty) wierzchołek grafu a 
stopień wierzchołka (liczbę kończących się w nim krawędzi). Tradycyjnie oznacza się 
oraz 
, zapis {v,u} będący zbiorem dwuelemtowym wierzchołków, używa się do oznaczenia krawędzi między v i u (w przypadku digrafów jest to para uporządkowana, gdyż liczy się kolejność oznaczająca kierunek krawędzi).
[edytuj] Indeksowanie wierzchołków
Ścieżka/cykl Hamiltona może być jednoznacznie wyznaczona przez indeksowanie wierzchołków - tj. nadamie im indeksów, powiedzmy 
, takich, że istnieje ścieżka Hamiltona przechodząca w takiej właśnie kolejności przez wierzchołki grafu.
Gdy znane jest indeksowanie wyznaczające ścieżkę Hamiltona, to znalezienie (lub potwierdzenie nieistnienia) cyklu Hamiltona jest trywialne i sprowadza się do sprawdzenia, czy istnieje krawędź {vn,v0} - zajmuje to, w zależności od sposobu reprezentacji grafu, czas stały lub 
, gdzie n to liczba wierzchołków danego grafu (zobacz: Notacja dużego O).
[edytuj] Warunek konieczny
Jeżeli graf G jest hamiltonowski to dla każdego niepustego zbioru 
zbioru wierzchołków V(G) zachodzi
gdzie 
oznacza ilość spójnych składowych grafu G.
[edytuj] Warunki wystarczające
Istnieją jednak twierdzenia pozwalające na podstawie cech grafu, dostępnych w czasie liniowym, stwierdzić jednoznacznie, czy dany graf jest hamiltonowski. Należy pamiętać, że jest to implikacja jednostronna - istnieje nieskończenie wiele grafów hamiltonowskich, które nie mają poniższych cech.
Twierdzenia te są matematycznym obrazem dość naturalnej obserwacji dotyczącej własności grafów - jest logiczne, że im więcej jest krawędzi w grafie, tym "większe są szanse" na znalezienie wśród nich drogi Hamiltona. W skrócie (i nieformalnie), poniższe twierdzenia mówią, że graf jest hamiltonowski, jeżeli tylko ma on odpowiednio dużo krawędzi w stosunku do ilości wierzchołków.
Najważniejsze z nich to:
- Twierdzenie Diraca (1952),
- Twierdzenie Ore (1961),
- Twierdzenie o ilości krawędzi,
- Twierdzenie Bondy-Chvátal,
- Twierdzenie dla grafu dwudzielnego.
[edytuj] Szczególne przypadki
Oczywiste jest, że żaden graf niespójny nie jest hamiltonowski. Dodawanie krawędzi (w szczególności krawędzi wielokrotnych i pętli) do grafu Hamiltona w oczywisty sposób nie może uczynić z niego grafu niehamiltonowskiego. Każdy graf pełny o V wierzchołkach zawiera V! cykli Hamiltona, gdyż dla każdej permutacji indeksów wierzchołków, 
wyznacza istniejącą drogę, będącą cyklem Hamiltona. Każdy turniej ma cykl Hamiltona.
[edytuj] Algorytmy znajdowania ścieżki Hamiltona
- Algorytm Robertsa-Floresa
[edytuj] Bibliografia
- Kenneth Ross, Charles Wright – "Matematyka dyskretna", PWN,2003
- Robin Wilson – "Wprowadzenie do teorii grafów", PWN, 2004
- Witold Lipski – "Kombinatoryka dla programistów", WNT, 2004
