부분집합

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A는 B의 부분집합이다

부분집합(部分集合)은 어떤 집합의 일부분이 되는 집합을 말한다.

집합 A, B가 있을 때

x ∈ A ⇒ x ∈ B

의 관계가 항상 성립하는 경우 집합 A는 B의 부분집합이라고 한다. 기호로는 A ⊆ B로 표기한다.

A = B인 경우에도 A가 B의 부분집합이 성립한다. A와 B가 같지 않은 경우, 즉 A ⊆ B이고 A ≠ B인 경우에 A는 B의 진부분집합이라고 한다. 기호로는 A ⊂ B로 표기한다.

부분집합을A ⊂ B로, 진부분집합을 로 표시하는 경우도 있다.

[편집] 예

A = {4,10}

B = {1,4,7,10,13}

이 경우 A ⊆ B 이다. 나아가 A ≠ B 이기 때문에, A ⊂ B 라고 할 수 있다.

[편집] 정리

다음에서 A,B,C를 집합, S를 전체집합이라 하자.

• 공집합 Φ은 모든 집합의 부분집합이다.
• A ⊆ A
• A ⊆ B 이고, B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한 역도 참이다.
• A ⊆ B 이고, B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다.
• A ⊆ S
• A ⊆ (A ∪ B)
• A ⊆ C 이고, B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
• A ∩ B ⊆ A
• C ⊆ A 이고, C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
• 다음은 동치이다.
  • A ⊆ B
  • A ∩ B = A
  • A ∪ B = B
  • A − B = Φ
  • B의 여집합 ⊆ A의 여집합