Traslazione nel piano complesso
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[modifica] Definizione
Siano dati il numero complesso e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto
.
Per traslazione di vettore si intende la trasformazione:
![\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}](../../../math/4/7/1/4714c240e9cc63f2bbc759d966a13afd.png)
che associa al numero complesso z il numero complesso z' = z + v.
[modifica] Proprietà
Dalla definizione si deduce che se il punto , di coordinate
, rappresenta z, allora la sua immagine sarà il punto P'(z') di coordinate
, con
, che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore
,
![\tau_{\vec{v}}: \left \{ \begin{matrix} x' = x+p \\ y' = y+q \end{matrix} \right.](../../../math/a/5/6/a560db10ef8a4ee66313f91edc4d3ebd.png)
Quindi:
sommare a un numero complesso il numero complesso
equivale ad applicare una traslazione di vettore
al punto
di coordinate
.
[modifica] Esempi
[modifica] Esempio 1
La trasformazione
![\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z&-3+i\end{matrix}](../../../math/2/1/0/210bd2c7e3763cefea4a0ea584303a53.png)
è la traslazione di vettore
.
[modifica] Esempio 2
Per determinare la scrittura complessa della traslazione τ che porta il punto P(1 + i) in P'( - 2 - i) è sufficiente osservare che P(1 + i) è il punto associato al numero complesso z = 1 + i, e che P'( - 2 - i) è il punto associato al numero complesso z' = - 2 - i. Poiché sommare ad un numero complesso z = x + iy il numero complesso v = p + iq equivale applicare una traslazione di vettore al punto P(z) di coordinate (x,y), si ha che:
![-2-i \,=\, 1+i+p+iq](../../../math/4/1/5/4154599443cbc2d4e08ce0c2f93b0bd5.png)
da cui si ottiene che .
Quindi
![\left \{ \begin{matrix} p =-3 \\ q =- 2\end{matrix} \right.](../../../math/5/6/b/56bfc032db6bc916f8eb49309293c99b.png)
.
La traslazione richiesta è:
![\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z&-3-2i\end{matrix}](../../../math/a/3/a/a3a8bd56c54af47b25c0cb98c6d7ac68.png)
.
[modifica] Casi particolari
Si consideri il caso in cui . La traslazione di vettore
è la trasformazione:
![\begin{matrix}\tau_{(p,0)}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}](../../../math/1/e/d/1ed670d4fd36f5c722439a0188178b5a.png)
che associa al numero complesso z il numero complesso .
È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ovvero modifica solo la parte reale di z, mentre lascia invariata la parte immaginaria.
In modo analogo se . La traslazione di vettore
è la trasformazione:
![\begin{matrix}\tau_{(0,q)}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}](../../../math/d/f/a/dfa1d49156616ea114d7a62ad5d64174.png)
che associa al numero complesso z il numero complesso .
È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ovvero che modifica solo la parte immaginaria di z, mentre lascia invariata la parte reale.
[modifica] Composizione di traslazioni
Date due traslazioni di vettori e
, la trasformazione composta
![\tau=\tau_{\vec u}\circ\tau_{\vec v}](../../../math/d/7/7/d771089cc1238a0970614a882ec9bd2e.png)
è una traslazione di vettore .
Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: , poiché è commutativa la somma di vettori
.
In particolare una qualsiasi traslazione di vettore
è data dalla composizone delle traslazioni
e
. Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che
.