Teorema di Desargues

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Girard Desargues, matematico francese, il quale studia basandosi sulla tradizione classica, le coniche e le tecniche prospettive per la rappresentazione dello spazio, elaborate dagli artisti del rinascimento, giunge a risultati che ripresi nell’800, daranno origine alla geometria proiettiva.

Il teorema noto come teorema di Desargues, mette in relazione due concetti: Se due triangoli sono in prospettiva rispetto ad un punto, allora sono in prospettiva anche rispetto ad una retta. O anche, se due triangoli sono in prospettiva rispetto ad un punto, e se le parti dei lati corrispondenti si intersecano, allora i tre punti di intersezione sono allineati. Questa figura mostra due triangoli che soddisfano il teorema di Desargues:

Anche il reciproco del teorema di Desargues è vero:

Se due triangoli stanno in prospettiva rispetto ad una retta e se ciascuna coppia di vertici corrispondenti sono uniti per rette che si intersecano, i triangoli sono in prospettiva rispetto al punto di intersezione delle tre rette.

Questa mostra un’altra configurazione del teorema di Desargues.

Ricordiamo che due triangoli sono in prospettiva rispetto ad un punto se le rette che uniscono i punti sono concorrenti. Si dice anche che due triangoli sono in prospettiva rispetto ad una retta se le coppie formate per rette corrispondenti si tagliano in punti allineati. Il teorema di Desargues viene ripreso in considerazione da Hilbert alla fine del 1800 nel libro “Grundlagen der Geometrie” (“Fondamenti della Geometria”), dove il matematico tedesco formula alcune considerazioni derivate da tale teorema. Egli infatti propone un sistema di assiomi presentando un esempio di geometria in cui non vale il teorema di Desargues.

Nel 1902, Moulton riprende l’argomento trattato da Hilbert, proponendo un esempio di geometria non desarguesiana alquanto più semplice, che verrà infatti riportato nelle edizioni successive del testo “Grundlagen der Geometrie”. Moulton pubblicò a tale scopo, nel 1902, un articolo sulla rivista TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATIC SOCIETY.

Infine, una diversa interpretazione del problema rappresentato dal teorema di Desargues può essere introdotta presentando l’impostazione data da E. Artin in Geometric Algebra.