Somma di potenze di interi successivi

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Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi

$\sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m$

dove m ed n denotano numeri interi positivi. Si osserva che la precedente espressione definisce una successione a due indici interi a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme

$\left\{ \mathbb{N_+}\times\mathbb{N_+} ~\mapsto~ \mathbb{N_+}\right\}$ .

Si dimostra facilmente in vari modi che

$\sum_{k=1}^n k = {{n(n+1)}\over 2}$

Risulta abbastanza agevole anche trovare che

$\sum_{k=1}^n k^2 = {{n(n+1)(2n+1)}\over 6}$

$\sum_{k=1}^n k^3 = {{n^2(n+1)^2}\over 4}$

Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per induzione.

Si osserva che la somma delle potenze m-esime dei primi n interi positivi è data da un polinomio di grado m+1 nella n a coefficienti razionali. In effetti Carl Jacobi nel 1834 ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi.

Si osserva anche che, soprattutto se n è elevato, la valutazione delle somme effettuata mediante il calcolo di questi polinomi è molto più agevole della valutazione effettuata servendosi direttamente della definizione.

È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori n degli esponenti.

Le espressioni per i successivi valori di n furono individuate da Johann Faulhaber e pubblicate nel 1631 e una espressione generale, conosciuta come formula di Faulhaber è stata dimostrata da Jacobi.

$\sum_{k=1}^n k^m = {1\over (m+1)} \sum_{k=0}^m {{m+1}\choose k} B_k (n+1)^{m+1-k}$

In questa e altre formule intervengono i numeri di Bernoulli $\,B_n\,$ ed i polinomi di Bernoulli $\,B_n(x)\,$ .

La tavola delle espressioni polinomiali prosegue per n = 4, 5, ..., 10 nel seguente modo:

$\begin{matrix} \sum_{k=1}^n k^4 = {1\over 30}(6n^5+15n^4+10n^3-n) \\ \ \\ \sum_{k=1}^n k^5 = {1\over 12}(2n^6+6n^5+5n^4-n^2) \\ \ \\ \sum_{k=1}^n k^6 = {1\over 42}(6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n) \\ \ \\ \sum_{k=1}^n k^7 = {1\over 24}(3n^8+12n^7+14n^6-7n^4+2n^2) \\ \ \\ \sum_{k=1}^n k^8 = {1\over 90}(10n^9+45n^8+60n^7-42n^5+20n^3-3n) \\ \ \\ \sum_{k=1}^n k^9 = {1\over 20}(2n^{10}+10n^9+15n^8-14n^6+10n^4-3n^2) \\ \ \\ \sum_{k=1}^n k^{10} = {1\over 66}(6n^{11}+33n^{10}+55n^9-66n^7+66n^5-33n^3+5n) \\ \ \\ \end{matrix}$

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