Simmetria centrale nel piano complesso

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Indice

1 Definizione
2 Proprietà
3 Esempio
4 Caso particolare
5 Voci correlate

[modifica] Definizione

Dati il numero complesso $\,z_0=x_0+iy_0\,$ e $\,C_0=P(z_0)\,$ , di coordinate $\,(x_0,y_0)\,$ , il punto corrispondente a $z 0$ , la simmetria centrale di centro $C 0$ , o rotazione attorno a $C 0$ di angolo $α = π$ , è la trasformazione

$\begin{matrix}S_{C_0}:&\mathbb{C}&\longrightarrow& \mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto& z'&=2z_0-z\end{matrix}$ .

[modifica] Proprietà

Ricordando che la simmetria di centro $C 0$ altro non è che la rotazione di centro $C 0$ e angolo $α = π$ , cioè $\,a=-1\,$ , è data da $\,z'=az+(1-a)z_0\,$ , si ha che $\,z'=-1z+(1-(-1))z_0=2z_0-z\,$ .

Passando in coordinate cartesiane se $\,z=x+iy\,$ , $\,z'=x'+iy'\,$ e $\,z_0 = x_0 +iy_0\,$ , allora $\,z'=x'+iy'=2(x_0+iy_0)-(x+iy)=(2x_0-x)+i(2y_0-y)\,$ , da cui si ottiene:

$\left \{ \begin{matrix} x' =2x_0-x \\ y' = 2y_0-y \end{matrix} \right.$

che rappresentano esattamente le equazioni della simmetria centrale nel piano di centro $C 0 (x 0, y 0)$ .

[modifica] Esempio

La scrittura complessa della simmetria centrale $\,S_{C_0}\,$ di centro $\,z_0=2+3i\,$ è data da $\,z'=2z_0-z=2(2+3i)-z=-z+4+6i\,$ .

[modifica] Caso particolare

La simmetria $S 0$ di centro l'origine $O (0,0)$ degli assi coincide con la rotazione nel piano di centro l'origine e angolo $α = π$ .

$\begin{matrix}S_0 \equiv \rho_{0, \pi}:&\mathbb{C}&\longrightarrow& \mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto& z'&=-z\end{matrix}$ .

Infatti :

$z'=-z= \rho \left [ \cos \left ( \vartheta + \pi \right ) +i \sin \left ( \vartheta + \pi \right ) \right ] = \rho e^{i \left ( \vartheta + \pi \right )}$