Numeri complessi e punti del piano cartesiano

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Consideriamo il piano cartesiano dotato di un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali $\,Oxy\,$ e la corrispondenza

$\begin{matrix}\varphi:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{R}\times\mathbb{R}\\ &z=a+ib&\longmapsto&(a,b)\end{matrix}$

che associa ad ogni numero complesso $\,z=a+ib\,$ il punto $P$ del piano di coordinate $\,(a,b)\,$ .

Si osserva che la parte reale $a$ di $z$ coincide con l'ascissa del punto $P$ ; mentre $b$ , coefficiente della parte immaginaria di $z$ , è l'ordinata del punto $P$ .

Vale anche il viceversa: ad ogni punto $P (a, b)$ del piano è possibile associare il numero complesso $z = a + i b$ . Tale punto $P$ viene usualmente indicato o con $P (z)$ oppure con $P (a + i b)$ . La distanza del punto $P$ dall'origine $O$ del sistema di riferimento è data da

$\overline{OP}= \sqrt{a^2+b^2}$

viene detta modulo di $z$ e la si denota con $\left|z\right|$ .

In particolare i punti dell'asse $O x$ , indicati con $(a,0)$ , sono in corrispondenza biunivoca con i numeri complessi del tipo $a + 0 i = a$ ovvero i numeri reali. Per questo motivo l'asse $O x$ viene indicato come asse reale del piano complesso.

I punti dell'asse $O y$ , indicati come $(0, b)$ , sono in corrispondenza biunivoca con i numeri complessi del tipo $0 + i b = b$ , ovvero i numeri immaginari puri. Per questo motivo l'asse $O y$ viene chiamato asse immaginario del piano complesso.

Un numero complesso $z$ può essere rappresentato in diversi modi:

$z=x+iy=\rho(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)=\rho e^{i\vartheta}$

Essi sono chiamati rispettivamente, notazione cartesiana, notazione trigoniometrica e notazione esponenziale dei numeri complessi. Il punto del piano corrispondente al numero complesso $z$ viene indicato con $\,P(z)=P(x,y)\,$ .