Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni
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In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni.
[modifica] Disuguaglianza di Boole
Consideriamo un insieme finito o numerabile di eventi A1, A2, A3, ... . Per esso vale la disuguaglianza
![\Pr\left[\bigcup_{i} A_i\right] \leq \sum_i \Pr\left[A_i\right]~.](../../../math/c/d/2/cd2032c80f780d544c0d8e90ce66f99a.png)
[modifica] Disuguaglianze di Bonferroni
Nel caso di collezioni finite di eventi, la precedente disuguaglianza può venire generalizzata nelle cosiddette disuguaglianze di Bonferroni le quali forniscono estremi superiori e inferiori alla probabilità per l'unione di tali eventi.
Introduciamo le seguenti quantità:
e per 2 < k ≤ n,
dove si intende che la sommazione sia da effettuare sopra tutte le k-uple di interi distinti.
Per gli interi dispari k ≥ 1 si dimostra che
mentre per gli interi pari k ≥ 2
La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a k = 1.
