Corpo (matematica)

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Un corpo è un insieme K munito di due operazioni binarie, che chiamiamo somma e prodotto e indichiamo rispettivamente con $+$ e $*$ , che godono delle seguenti proprietà:

Indice

1 Proprietà
2 Note
3 Vedi anche:

[modifica] Proprietà

[modifica] proprietà rispetto alla somma

Per ogni coppia di elementi a,b appartenenti a K, la loro somma $a + b$ appartiene a K; si dice che K è chiuso rispetto alla somma.

La somma è associativa; cioè per ogni terna di elementi a,b,c appartenenti a K, vale:

(a + b) + c = a + (b + c)

Esiste un unico elemento z appartenente a K neutro ripetto alla somma, cioè tale che

a + z = z + a = a

Per ogni elemento a di K esiste un elemento opposto b tale che

a + b = b + a = z

La somma è commutativa, cioè per ogni coppia di elementi a,b di K, vale:

a + b = b + a

[modifica] proprietà rispetto al prodotto

Per ogni coppia di elementi a,b appartenenti a K, il loro prodotto $a * b$ appartiene a K; si dice che K è chiuso rispetto al prodotto.

Il prodotto è associativo; cioè per ogni terna di elementi a,b,c appartenenti a K, vale:

(a * b) * c = a * (b * c)

Esiste un unico elemento e (diverso da z) appartenente a K neutro ripetto al prodotto, cioè tale che

a * e = e * a = a

Per ogni elemento a diverso da z esiste un elemento inverso b tale che

a * b = e

[modifica] proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto

Somma e prodotto godono delle proprietà distributive, cioè per ogni terna a,b,c di elementi di K vale:

a * (b + c) = a * b + a * c

[modifica] Note

Generalmente, si indica con 0 l'elemento neutro della somma (z) e con 1 l'elemento neutro del prodotto (e).

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

a * x = b

x * a = b

per ogni a,b appartenenti a K con a diverso da 0.

Un corpo è un anello con unità in cui esiste l'inverso di ogni numero diverso da 0 (proprietà B3). Un corpo commutativo, in cui valga cioè la proprietà commutativa del prodotto, è un campo.