Compattificazione di Stone-Čech

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La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico $X$ è uno spazio topologico compatto (indicato con $β X$ ) che estende lo spazio di partenza $X$ , in cui è inoltre possibile estendere tutte le funzioni continue e limitate in $X$ .

Fra le varie compattificazioni di uno spazio topologico, quella di Stone-Čech è la "più grande", contrapposta alla compattificazione di Alexandrov, ottenuta aggiungendo un punto solo.

Indice

1 Definizione
2 Principali proprietà
3 Una possibile formulazione della compattizzazione di Stone-Cech
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

La compattificazione di Stone-Čech di uno spazio topologico $X$ è uno spazio $β X$ contenente $X$ con queste proprietà:

$β X$ è compatto;
$X$ è denso in $β X$ ;
per ogni funzione continua

$f:X\to K$

a valori in uno spazio compatto di Hausdorff $K$ esiste una funzione continua

$f':\beta X\to K$

che estende $f$

L'ultima proprietà può essere descritta dicendo che $X$ è C^*-immerso in $β X$ .

[modifica] Principali proprietà

La compattificazione di Stone-Cech si può vedere come la "massima" compattificazione di uno spazio, mentre la compattificazione di Alexandrov è la più piccola, come indicano le seguenti proprietà:

è unica a meno di omeomorfismi;
è l'unico spazio compatto in cui $X$ è $C^{\star}$ -immerso;
è il più grande spazio in cui $X$ è $C^{\star}$ -immerso.

[modifica] Una possibile formulazione della compattizzazione di Stone-Cech

Quella che segue è una tra delle formulazioni equivalenti della compattificazione di Stone-Cech: dato uno spazio topologico $X$ , la compattificazione di Stone-Cech $β X$ è formata da tutti gli ultrafiltri di X. La base della topologia di $β X$ possiede come elementi tutti gli ultrafiltri che contengono un dato aperto $A$ :

$\mathcal{B} = \{ p \in \beta X | A \in p \} _{A \in \mathcal{A}}$ , dove $\mathcal{A}$ sono gli aperti della topologia di $X$ .