Cardioide

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Cardioide

In geometria la cardioide è una curva e più precisamente una epicicloide con una e una sola cuspide. Essa è quindi una curva che si può ottenere tracciando il percorso di un punto scelto su una circonferenza che viene fatta rotolare senza scivolamenti intorno ad un'altra circonferenza di raggio uguale e mantenuta fissa.
La cardioide può anche essere vista come un caso particolare di limaçon

Il suo nome esprime la sua forma di un cuore stilizzato e deriva dal greco kardioeides = kardia (cuore) + eidos (forma).

[modifica] Equazioni

Dal fatto che la cardioide è una epicicloide con una cuspide, discende che essa è individuata dalle seguenti equazioni parametriche:

$x(\theta) = \cos \theta + {1 \over 2} \cos 2 \theta, \qquad \qquad (1)$

$y(\theta) = \sin \theta + {1 \over 2} \sin 2 \theta. \qquad \qquad (2)$

Questa curva viene individuata anche dalla equazione in coordinate polari

$\rho(\theta) = 1 + \cos \theta \$ .

[modifica] Dimostrazione

Le equazioni (1) e (2) definiscono una cardioide con la cuspide in (−1/2, 0). Per passare alle coordinate polari conviene considerare la cardioide con la cuspide nell'origine, curva data dalle equazioni ottenute dalle precedenti con la sola aggiunta di 1/2 all'ascissa:

$x(\theta) = {1 \over 2} + \cos \theta + {1 \over 2} \cos 2 \theta,$

$y(\theta) = \sin \theta + {1 \over 2} \sin 2 \theta.$

La coordinata polare radiale $\, \rho(\theta) \,$ è data da : $\rho(\theta) = \sqrt{x^2(\theta) + y^2(\theta)}$

$= \sqrt{\left( {1 \over 2} + \cos \theta + {1 \over 2} \cos 2 \theta \right)^2 + \left( \sin \theta + {1 \over 2} \sin 2 \theta \right)^2 }.$

Sviluppando

$\rho = \sqrt{ {1 \over 4} + \cos^2 \theta + {1 \over 4} \cos^2 2 \theta + \cos \theta + {1 \over 2} \cos 2 \theta + \cos \theta \cos 2 \theta + \sin^2 \theta + {1 \over 4} \sin^2 2 \theta + \sin \theta \sin 2 \theta}$ .