Quaternion

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Le Quaterniones es un extention del numero reales, similar al numeros completos. Mentras que le numeros completos es una extention del reales per le addition del unitate imaginaria i, tal que i² = -1, le quaterniones son una extention generate de manera analoga addadente le unitates imaginarias: i, j et k al numeros reales et tal que i² = j² = k² = ijk = -1. Iste se pote resumir in iste tabla de multiplication.

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Ergo un quaternion es un numero del forma a + bi + cj + dk, ubi a, b, c, et d son numeros reales univocamente determinates pro quoti quaternion.

Le multiplication del quaterniones no es commutative: ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j. Le quaterniones son un exemplo de cuerpo asimétrico, un structura algebraica resembla a un corpo sed non conmutativo in le multiplication. Le multiplication es asociativa et totes quaternon non nulo possea un unico inverso. Illes forma un algebra associativa 4-dimensional super le numeros real e le numeros complete forma un subconjunto de illa, le quaterniones non forma un algebra associativa super le completos.

Le valor absoluto de un quaternión z = a + bi + cj + dk queda definite per |z|² = a² + b² + c² + d².

Usante le function distancia definite como d(z,w) = |z - w|, le quaterniones forma un spacio metrico et totes le operationes arithmetic es continue.

Tamben tene que |zw| = |z| |w| pro cualesquiera quaterniones z y w.

Usante como norma le valor absoluto, le quateriones conforma un algebra de Banach real.

Le conjunto del quaterniones de valor absoluto 1 forman una esfera 3-dimensional S³ y un grupo (incluso grupo de Lie) cum le multiplicación. Iste grupo actua, mediante conjugación, super le copia de R³ constituite pro le quaterniones cujo parte real es zero. No es difícil comprobar que le conjugation pro un quaternion unitate de parte real cos t es una rotatión de angulo 2t con el eje de giro en la dirección de la parte imaginaria. Assi, S³ constitue un recubrimiento doble del grupo SO(3) de matrices ortogonales 3x3 de determinante 1; es isomorfo a SU(2), le grupo de matrices 2x2 completas unitarias et de determinante unitate.

Pro plus detalles super le rotation in le spacio mediante le quaterniones, vide quaterniones et rotation in le spatio

Sea A le conjunto de quaterniones del forma a + bi + cj + dk ubi a, b, c et d es, o totes enteros o totes rationales apud numerator impar et denominator 2. Le conjunto A es un anello et un reticulo . On habe 24 quaterniones unitarios in iste anello et son le vertices de un politopo regular, appellate {3,4,3} in le notation de Schlafli.