Notation Bra-Ket

De Wikipedia, le encyclopedia libere

Le bra-ket notation es le standard notation pro describer statos quantic in le theory del mechanica quantic. Il pote etiam esser usate pro denotar vectors abstracte e linear functional in pure mathematica. Il es assi appelate a causa que le producto interne de duo statos es denotate per un bracket, $\langle\phi|\psi\rangle$ , consistente de un parte sinistre, $\langle\phi|$ , appelate le bra, e de un parte dextre, $|\psi\rangle$ , appelate le ket. Le notation esseva inventate per Paul Dirac, e es etiam cognoscite como le notation de Dirac.

Tabula de contento

1 Bras e kets
2 Proprietates
3 Operators Lineares
4 Bras e kets composite
5 Representationes in termos de bras e kets

[modificar] Bras e kets

In mechanica quantic, le stato de un systema physical es identificate con un vector in un spatio de Hilbert complex, H. Cata vector es appelate un "ket", e scripte como

$|\psi\rangle$

ubi ψ denota un ket particular, legite como "psi ket."

Cata ket $|\psi\rangle$ ha un dual bra, scripte como

$\langle\psi|$

Isto es un linear function continue de H al complex numeros C, definite per:

$\langle\psi|\rho\rangle = \bigg( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \bigg)$ for all kets $|\rho\rangle$

ubi ( , ) denota le product interne definite in le spatio de Hilbert. Le bra es simplemente le conjugate transposto (etiam appelate le Hermitian conjugate) del ket e vice versa. Le notation es justificate per le theoremar del representation de Riesz, que stabilite que un spatio de Hilbert e su spatio dual son isometricmente isomorphic. Assi, cata bra corresponde a exactemente un ket, e vice versa. Isto non es semper le caso nonobstante; in le pagina 111 de "Quantum Mechanics" per Cohen-Tannoudji et. al. il es clarificate que ha tal un relation inter bras e kets solmente si le functiones usate son integrable quadraticmente. Considera un base continuous e un function delta de Dirac o un unda seno o cosseno como un function de unda. Tal functiones non son integrable quadraticmente e portanto il appare que le bras existe con non correspondente ket. le ration que isto non impede le mechanica quantic es proque tote function de unda son integrabile quadraticmente in realitate.

Le notation bra-ket pote esser usate si le spatio vectorial non es un spatio de Hilbert. In qualcuque spatio de Banach B, le vectores pote esser notate per kets e le linear functionals continue per bras. Super qualcunque spatio vectorial sin topologia, nos pote etiam notate le vectores per kets e le functional linear per bras. In iste plus general contextos, le bracket non ha le signification de un producto interne, proque le theorema del representation de Riesz non es applicabile.

Applicante le bra $\langle\phi|$ al ket $|\psi\rangle$ resulta in un numero complexe, appelate un "bra-ket" o "bracket", que es scripte como

$\langle\phi|\psi\rangle$ .

In mechanica quantic, isto es le amplitude de probabilitate pro el stato ψ collapsar in le stato φ.

[modificar] Proprietates

Bras e kets pote esser manipulate in le sequente modos:

Date qualcunque bra $\langle\phi|$ , kets $|\psi_1\rangle$ e $|\psi_2\rangle$ , e numeros numeros c₁ e c₂, ergo, desde que le bras son funcitonales linear,

Date qualcunque ket $|\psi\rangle$ , bras $\langle\phi_1|$ e $\langle\phi_2|$ , e numeros complexe c₁ e c₂, ergo, per le definition de addition e scalar multiplication de linear functionales,

Date qualcunque kets $|\psi_1\rangle$ e $|\psi_2\rangle$ , e numeros complexe c₁ e c₂, del proprietates del producto interne (con c* denotante le complexe conjugate de c),

$c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle$ is dual to $c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|.$

Date qualcunque bra $\langle\phi|$ e ket $|\psi\rangle$ , e axiomatic proprietate del producto interne da

$\langle\phi|\psi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^*$ .

[modificar] Operators Lineares

Si A : H → H es un operator linear, nos pote applicar A al ket $|\psi\rangle$ pro obtener le ket $(A|\psi\rangle)$ . Linear operatores son ubiquite in le theoria del mechanica quantic. Per exemplo, hermitian operators son usate pro representar quantitates physic observabile, tal como energia o momentum, enquanto unitary linear representa transformative processos tal como un rotation o le progression del tempore.

Operators pote esser "viewed" como agente super bras de le dextre latere. Applycante le operator A al bra $\langle\phi|$ resulta in le bra $(\langle\phi|A)$ , definite como un linear functional in H per le regra

$\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg)$ .

Iste expression es communmente scripte como

$\langle\phi|A|\psi\rangle.$

Un modo convenient de definir operatores linear in H es dante per le product externe: si $\langle\phi|$ es un bra e $|\psi\rangle$ es un ket, le product externe

$|\phi\rang \lang \psi|$

denota le rank de un operator que mappa le ket $|\rho\rangle$ al ket $|\phi\rangle\langle\psi|\rho\rangle$ (ubi $\langle\psi|\rho\rangle$ es le multiplication scalar del vector $|\phi\rangle$ ). Un del usos del product externe es pro construir le operator de projection. Date un ket $|\psi\rangle$ de norma 1, le projection orthogonal super le subspace spannate per $|\psi\rangle$ es

$|\psi\rangle\langle\psi|$

[modificar] Bras e kets composite

Duo spato de Hilbert V e W pote formar un tertie spatio $V \otimes W$ per un producto tensorial. In mechanica quantic, isto es usate pro describer systemas composite. Si un systema es composite de duo subsystemas describite per V e W respectivemente, "then" le spatio de Hilbert space del integre systema es le tensorial product del duo spatios. (Le exception al isto es si le subsystemas son realmente formate de particulas identic. In illo caso, le situation es un pauc plus complicate.)

Si $|\psi\rangle$ es un ket in V e $|\phi\rangle$ e un ket in W, le tensorial producto del duo kets es un ket in $V \otimes W$ . Isto es scripte variemente como

[modificar] Representationes in termos de bras e kets

In mechanica quantic, il es multe vices conveniente travaliar con le projectiones del vectores de stato super un base particular, al inves de le vectores illos proprie. Le ration es que le prime son simplemente complexe numeros, e pote esser formulate in termos de equationes differential partial (vide, per exemplo, le derivation del position-basis equanti de Schrödinger). Iste processo es multe similar al uso de coordinate vectors in linear algebra.

Per instance, le spatio de Hilbert de un particula pontual de zero-spin es spannate per un base de position $\lbrace|\mathbf{x}\rangle\rbrace$ , ubi le label x extende super le collection de vectores de position. Commenciante ex qualcunque ket $|\psi\rangle$ in iste spatio de Hilbert, nos pote definir un complexe scalar function de x, cognoscite como un function de unda:

$\psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|\psi\rang$ .

Il es then customary to define linear operators acting on wavefunctions in terms of linear operators acting on kets, by

$A \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x}|A|\psi\rang$ .

Nonobstante le operator A al sinistra de iste equation es, per convention, labellate in le mesme modo que un operator al lateral dextre, il debe esser presente in mind que le duo son conceptualmente differente entitates: le prime age in le functiones de unda, e le secunde age super le kets. Per instance, le operator de momentum p ha le sequente forma:

$\mathbf{p} \psi(\mathbf{x}) \equiv \lang \mathbf{x} |\mathbf{p}|\psi\rang = - i \hbar \nabla \psi(x)$ .

On occasionalmente incontra un expression como

$- i \hbar \nabla |\psi\rang$ .

Isto es alicun de un abuso de notation, nonobstante un multe commun. Le differential operator debe esser comprendente esser un abstract operator, agente super kets, qua ha le effecto de differentiante functiones de unda depost que le expression es projectate super le position base:

$- i \hbar \nabla \lang\mathbf{x}|\psi\rang$ .

Require revision linguistic

Pro iste articulo esseva facite un requesta pro revision linguistic. Si tu trova mal grammatica, orthographia o stilo, nos te invita a meliorar le articulo e a rescinder postea iste etiquetta.

Recuperate de "http://ia.wikipedia.org../../../n/o/t/Notation_Bra-Ket_7209.html"

Categories: Articulos pro revider | Physica