Tizedestört
A Wikipédiából, a szabad lexikonból.
Tizedestörtnek a valós számok (ℝ) egy lehetséges kanonikus (gyakorta alkalmazott és minden szám esetében egyértelműen lehetséges) felírását nevezzük. Nevezetesen, ha r∈ℝ tetszőleges valós szám, akkor intuitíve elfogadható vagy (pl. a Cantor-axiómára épülő axiómarendszerben könnyedén) bebizonyítható, hogy léteznek olyan m∈ℕ+ z0,z1,...,zm∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} számok és olyan {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}-beli végtelen sorozat, azaz olyan t1,t2,...∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,} számok, amelyekre
Másképpen, amelyre
Elnevezések: a z és t számok a([z] r) szám jegyei (mégpedig tízes jegyei - ugyanis van kettedes- harmados stb. törtes felírás is), a z számok megfelelő 10-hatványokkal súlyozott összegei a szám egészrésze, a "maradék", tehát a t számok 10-hatványokkal szorzott összege, a valós szám törtrésze.
[szerkesztés] Példák
Néhány nemnegatív szám tizedestört alakja ( a * azt jelzi, hogy a tizedestört a megfelelő küszöbtől kezdve periodikus, periódusa a *-ok közti szakasz, a véges tizedestörtek *0* periódusait nem szoktuk kiírni, sem pedig a 0 törtrészű számok törtrészét:
szám | rövid tizedestört alak | szabályos tözedestört alak |
0 | 0 | 0.*0* |
1 | 1 | 1.*0* |
10 | 10 | 10.*0* |
1/10 | 0.1 | 0.1*0* |
1/100 | 0.01 | 0.01*0* |
1/1000 | 0.001 | 0.001*0* |
1/2 | 0.5 | 0.5*0* |
1/4 | 0.25 | 0.25*0* |
1/8 | 0.125 | 0.125*0* |
1/3 | 0.33... | 0.*3* |
2/3 | 0.66... | 0.*6* |
1/5 = 2/10 | 0.2 | 0.2*0* |
1/6 | 0.166... | 0.1*6* |
5/7 | 0.714285... | 0.*714285* |
π | 3.141592... | 3.141592... |
[szerkesztés] Tizedestörtek osztályzása
Ha van olyan küszöb, melytől kezdve minden t jegy 0, akkor a tizedes tört véges. Ha van olyan küszöb, melytől kezdve a t jegyek sorozata pediodikus akkor a tizedes tört szakaszos (véges tizedes tört tehát periodikus). Ha egy tizedes tört nem szakaszos, akkor nem-szakaszosnak vagy aperiodikusnak nevezzük.
Fontosabb tételek: racionális szám tkp. egyértelműen írható szakaszos tizedestört alakba, fordítva pedig, néhány kivételtől eltekintve minden szakaszos tizedestört egy és csak egy racionális számot határoz meg. Az irracionális számok tizedestört alakja aperiodikus.
[szerkesztés] Műveletek tizedestörtekkel
Véges tizedestörtekkel nagyjából ugyanúgy számolunk, mint tízes számrendszerben felírt egész számokkal. A végtelen (akár periodikus) tizedestörtekkel való számolás azonban komoly felsőbb matematikai feladat, vele a matematikai analízis sorelmélet c. része foglalkozik.